Part I · 第 1 章线性代数 · 1.2

线性组合、张成与基

机器人只有几个执行器，每个只会沿固定方向用力。它们配合起来，能去哪些地方？答案是：所有"各取几份再相加"能拼出来的位置，叫张成。方向够多、够"不重复"的一组向量叫基，它是给空间写坐标的尺子。

约 25 分钟前置：1.1 向量 7 个交互

1为什么机器人需要它

3D 打印机、绘图仪和很多取放机器人用的是 CoreXY / H-bot 龙门架：两个固定的电机通过皮带拉动打印头。转电机 A，打印头沿对角线 $(1,1)$ 方向走；转电机 B，打印头沿另一条对角线 $(1,-1)$ 方向走。可你想要的是"去 $(3,1)$ 这个点"，一个朝向和这两条对角线都不一致的位置。两个电机怎么配合，才能把打印头送到平面上任意一点？

答案就是本节的主角：线性组合。每个电机转一定的量，各自推出一个向量，打印头的位置是这些向量之和。所有能这样拼出来的位置，合起来叫这两个向量的张成（span）。如果其中一个电机卡死，张成立刻缩成一条线，机器就再也到不了平面上大部分地方。

反例同样重要。差速驱动的小车只会前进和原地转，不能横着滑：它的"执行器方向"凑不满所有方向（第 7 节）。同一套语言还在别处出现：一台俯视桌面的相机（先不管透视和畸变），它的像素坐标 $(u,v)$ 是沿"像素行、像素列"两个方向数格子得到的，这是另一套基下的坐标，朝向和刻度都和世界坐标轴不同。

2直觉：原料、配方与"能做的菜"

想象你在厨房里，只有两种原料：向量 $\mathbf v_1$ 和 $\mathbf v_2$。一份配方是两个数 $(c_1, c_2)$：第一种放 $c_1$ 份，第二种放 $c_2$ 份。做出来的菜是

$$ \cv{\mathbf p} = c_1\,\ci{\mathbf v_1} + c_2\,\cj{\mathbf v_2}, $$

这叫 $\mathbf v_1,\mathbf v_2$ 的线性组合（linear combination）。份数可以是小数，也可以是负数（反方向走）。几何上，它就是"先沿 $\mathbf v_1$ 走 $c_1$ 步，再沿 $\mathbf v_2$ 走 $c_2$ 步"的首尾相接。你能做出的所有菜合在一起，叫两种原料的张成（span）。

关键问题是：这张"菜单"有多大？试试下面三种情况。拖动 $\mathbf v_1$ 的箭头尖，再拖动紫色的 $\mathbf w$：它在菜单上吗？

FIG 1这道菜做得出来吗？

淡青色区域或线条是张成。两个方向不同的原料能铺满整个平面；只有一种原料，或者两种原料共线（绿色箭头是红色的 $-0.5$ 倍，反向但在同一条直线上），菜单就缩成一条线，线外的 $\mathbf w$ 怎么配都做不出来（红色虚线是差距）。

找一个 $\mathbf w$：在"一个向量"或"共线"下做不出来，再切到"方向不同"，它就做得出来了。

核心洞见

张成的大小取决于原料有没有"新方向"。第二个向量如果已经在第一个向量的张成里（同一条线上），它就多余，加进来也没有扩大菜单。这种"多余"叫线性相关；没有任何一个向量多余，就叫线性无关。

3动手玩：配方实验室

拖动红色 $\mathbf v_1$ 和绿色 $\mathbf v_2$ 的箭头尖；用滑块调配方 $c_1, c_2$，或者直接拖动黄色的结果 $\mathbf p$（滑块会跟着变）。打开"画出张成"，把所有整数配方 $(c_1,c_2)$ 对应的点都画出来，再把 $\mathbf v_1, \mathbf v_2$ 拖到同一条直线上看看。

FIG 2配方实验室

预设原料

虚线是配方的两步：先沿 $\mathbf v_1$ 走 $c_1$ 份（红），再沿 $\mathbf v_2$ 走 $c_2$ 份（绿），终点就是黄色的 $\mathbf p$。青色斜网格是 $\mathbf v_1,\mathbf v_2$ 生成的网格，圆点是整数配方。紫色圆圈是目标 $(3,1)$。

试一试

让张成塌成一条直线：把 $\mathbf v_1$、$\mathbf v_2$ 拖到同一条过原点的直线上。圆点和网格发生了什么？
让张成变成一个点：两个向量都拖到原点。
取 $\mathbf v_1=(1,1)$，$\mathbf v_2=(1,-1)$（可以用预设"CoreXY"，再用滑块），配出紫色目标 $(3,1)$。配方是什么？
还是配出 $(3,1)$，但这次必须有一个负的份数。提示：换一组原料，让目标落在两个原料"夹角之外"。

小游戏：找配方

每一题给你一组随机的原料 $\mathbf v_1, \mathbf v_2$ 和一个紫色目标 $\mathbf t$。拖动黄色结果，或者调滑块，使 $\mathbf p = \mathbf t$。数一数斜网格：从原点沿 $\mathbf v_1$ 走几格，再沿 $\mathbf v_2$ 走几格？

FIG 3找配方

不用"显示配方"，累计答对 3 题。

4第二个视角：坐标取决于你选的基

当两个原料无关时，平面上每个点都恰好有一份配方。这份配方就是这个点在这套原料下的坐标，这套原料就叫一组基（basis）。

注意：同一个点，换一套基，坐标就变。在标准基 $\{\ihat,\jhat\}$ 下，点 $\mathbf p$ 的坐标是 $(3,1)$：向右 3 格、向上 1 格。换成 CoreXY 的基 $\mathbf b_1=(1,1)$、$\mathbf b_2=(1,-1)$，同一个点的坐标是 $(2,1)$：沿 $\mathbf b_1$ 走 2 份，再沿 $\mathbf b_2$ 走 1 份，$2(1,1)+1(1,-1)=(3,1)$。点没有动，变的是尺子。

这正是 1.3 节"被动视角"的预告：把基向量并排写成矩阵 $B=[\,\mathbf b_1\;\mathbf b_2\,]$，它把新坐标翻译成标准坐标：$\mathbf p = B\mathbf c$（详见 1.3 节）。下面两张图画的是同一个平面、同一个点，左边用方格数，右边用斜格数。

FIG 4同一个点，两套坐标

标准基 {î, ĵ}

新基 {b₁, b₂}

拖动任意一个黄点，两边同步。顶部切换基：黄点不动，但右边的读数在变。"旋转 30°"这组基互相垂直、长度为 1，它就是机器人坐标系常见的样子（1.10 节）。

选 CoreXY 基，拖动黄点，让右边的坐标读数为 $(2,1)$。左边读到的是什么？
还是 CoreXY 基：找一个标准坐标 x、y 都为正、但在新基下有一个坐标为负的点。

5第三个视角：三维里的"多一个方向"

到了三维，故事多了一层。两个无关的向量张成一个过原点的平面。再加第三个向量 $\mathbf v_3$，只有两种可能：

$\mathbf v_3$ 躺在这个平面里：它是前两个的组合，线性相关，张成还是这个平面（2 维）；
$\mathbf v_3$ 伸出平面：线性无关，三个向量一起张成整个 $\R^3$（3 维），成为 $\R^3$ 的一组基。

拖动滑块，把第三个向量（蓝色）从平面里一点点拉出来。拖动画面可以转动视角。

FIG 5平面与第三个向量

半透明的平面是 $\mathrm{span}\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}$，其中 $\mathbf v_1=(2,0,1)$，$\mathbf v_2=(0,2,1)$。$\mathbf v_3$ 被拆成"平面内的部分 $a\mathbf v_1+b\mathbf v_2$"和"垂直于平面的部分 $h\hat{\mathbf n}$"；黄色虚线的长度就是 $\mathbf v_3$ 到平面的距离 $|h|$。三个向量围成的平行六面体体积是 $|\det|$，$h=0$ 时它被压扁成 0（1.5 节）。

让 $\mathbf v_3$ 恰好落进平面（$h=0$）。状态栏变成什么？
转动视角，从侧面看平面（它几乎变成一条线）。

6再看数学

提示：把鼠标悬停在公式中带底色的符号上，FIG 2 中对应的元素会被高亮。

线性组合与张成

给定向量 $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_k$ 和实数 $c_1,\dots,c_k$，向量 $c_1\mathbf v_1+\dots+c_k\mathbf v_k$ 叫它们的线性组合，$c_i$ 是系数。所有线性组合构成的集合叫张成：

$$ \hl{p}{\cv{\mathbf p}} = \hl{c1}{c_1}\,\hl{v1}{\ci{\mathbf v_1}} + \hl{c2}{c_2}\,\hl{v2}{\cj{\mathbf v_2}}, \qquad \hl{span}{\operatorname{span}}\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\} = \{\, c_1\mathbf v_1 + c_2\mathbf v_2 \;:\; c_1,c_2\in\R \,\}. $$

在 $\R^2$ 里，两个向量的张成只有三种可能：整个平面、一条过原点的直线、或者只有原点。张成永远包含原点（所有系数取 0）。

线性无关

向量组 $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_k$ 线性无关，是指"只有平凡组合才能得到零向量"：

$$ c_1\mathbf v_1 + \dots + c_k\mathbf v_k = \mathbf 0 \;\Longrightarrow\; c_1 = \dots = c_k = 0. $$

等价的说法：没有任何一个向量是其余向量的线性组合（没有"多余"的向量）。如果存在不全为 0 的系数使上式成立，就是线性相关。对平面上的两个向量，无关就是"都不为零，且不共线"。

基与维数

基是同时满足两个条件的向量组：线性无关（没有浪费）和张成整个空间（够用）。$\R^n$ 的任何一组基都恰好有 $n$ 个向量，这个数 $n$ 叫空间的维数（dimension）。所以平面里至多 2 个向量无关，空间里至多 3 个；$\R^2$ 里的 3 个向量一定相关。

坐标是唯一的

设 $\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n$ 是一组基。若同一个向量有两份配方 $\mathbf p = \sum c_i\mathbf b_i = \sum d_i\mathbf b_i$，两式相减得 $\sum (c_i-d_i)\mathbf b_i = \mathbf 0$。这是一个组合等于零，由线性无关，所有 $c_i - d_i = 0$，即 $c_i = d_i$。所以每个向量在一组基下的坐标 $[\mathbf p]_B = (c_1,\dots,c_n)$ 是唯一的。反过来，如果原料相关，配方就不唯一（见误区 1 和第 7 节的全向轮）。

在二维里求坐标

设 $\mathbf b_1=(b_{11},b_{21})$，$\mathbf b_2=(b_{12},b_{22})$，要解 $\mathbf p = c_1\mathbf b_1 + c_2\mathbf b_2$。这就是两个方程、两个未知数：

$$ \begin{aligned} b_{11}c_1 + b_{12}c_2 &= p_1 \\ b_{21}c_1 + b_{22}c_2 &= p_2 \end{aligned} \quad\Longrightarrow\quad c_1 = \frac{p_1 b_{22} - p_2 b_{12}}{\Delta},\;\; c_2 = \frac{b_{11}p_2 - b_{21}p_1}{\Delta},\;\; \Delta = b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21}. $$

$\Delta \ne 0$ 恰好等价于 $\mathbf b_1,\mathbf b_2$ 无关；$\Delta = 0$ 时两列共线，方程要么无解、要么有无穷多解。这个数就是 1.5 节的行列式。例：CoreXY 的基，$\Delta = 1\cdot(-1) - 1\cdot 1 = -2$；对 $\mathbf p = (3,1)$，$c_1 = (3\cdot(-1) - 1\cdot 1)/(-2) = 2$，$c_2 = (1\cdot 1 - 1\cdot 3)/(-2) = 1$，和 FIG 4 一致。

矩阵写法

把基向量作为列，$B=[\,\mathbf b_1\;\mathbf b_2\,]$，上面的方程就是 $B\mathbf c = \mathbf p$，解是 $\mathbf c = B^{-1}\mathbf p$。CoreXY 的 $B = \begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$，$B^{-1} = \tfrac12\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$，也就是 $c_1 = (x+y)/2$，$c_2 = (x-y)/2$（电机指令和打印头位置之间的换算公式）。$B$ 是什么、什么时候有逆，是 1.3 节和 1.6 节的内容。

7机器人中的它：龙门架、差速车与全向轮

CoreXY 龙门架

取单位：电机 A 每转 1 个单位，打印头移动 $(1,1)$；电机 B 每转 1 个单位，移动 $(1,-1)$（实际机器差一个常数倍，不影响结论）。电机指令 $(\alpha,\beta)$ 对应的打印头位置是

$$ \cv{\mathbf p} = \alpha\,\ci{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}} + \beta\,\cj{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}} = \begin{bmatrix}\alpha+\beta\\ \alpha-\beta\end{bmatrix}, \qquad \alpha = \tfrac{x+y}{2},\;\; \beta = \tfrac{x-y}{2}. $$

拖动打印头（黄），或者用滑块分别转两个电机。然后试试"故障"：卡死一个电机，它的指令就被冻结，打印头只能沿另一个电机的对角线滑动，可达集合从一块区域塌成一条线段。

FIG 6CoreXY：两个电机，两个方向

红色虚线是电机 A 的贡献 $\alpha(1,1)$，绿色虚线是电机 B 的贡献 $\beta(1,-1)$，首尾相接到打印头。淡色斜线是两个电机各自的方向。菱形是电机行程（$|\alpha|,|\beta|\le 3$）限制下的可达范围。紫色圆圈是目标 $(3,1)$。

两个电机都正常，把打印头开到目标 $(3,1)$。电机指令是多少？
卡死一个电机，使目标永远够不着（读数里"最近距离"大于 0.5）。
有没有一种卡死位置，目标依然够得着？先把电机开到合适的位置，再卡死它，再用另一个电机去够目标。

差速车：三个方向只凑得出两个

平面移动机器人的瞬时运动有三个自由度：前后 $v_x$、左右 $v_y$、转动 $\omega$，可以写成 $\R^3$ 里的一个向量 $(v_x,v_y,\omega)$。差速车只有两个"执行器方向"：前进 $(1,0,0)$ 和原地转 $(0,0,1)$，它们只张成 $\R^3$ 里的一个平面。含 $v_y$ 的方向都在张成之外：它不能横着滑。全向轮底盘三个方向俱全，张成整个 $\R^3$。

FIG 7想去的速度 vs 做得到的速度

机器人朝右（红色 $x_r$ 为前，绿色 $y_r$ 为左）。拖动紫色手柄设定想要的平移速度；黄色箭头是机器人此刻实际做得到的速度。蓝色圆弧是转动 $\omega$。差速模式下，左右分量被"吃掉"了。

差速模式下，把想要的速度拖成几乎纯横向（$|v_y|>1.5$，$|v_x|<0.3$）。实际速度是多少？
切到全向模式，再做一次同样的事。

真实系统里

固件里的基变换。Klipper、Marlin 等 3D 打印机固件在 CoreXY 模式下，每一步都在做 FIG 6 里的换算：把想要的 $(x,y)$ 变成两个电机的位置（相差一个常数倍）。电机相关或卡死，换算就失效。

差速车并非到不了。它不能瞬时横移，但通过"转一下、前进、再转回来"（像侧方停车）可以到达平面上任何位姿。瞬时能走的方向不足，换来的是需要规划的运动，这类约束叫非完整约束（nonholonomic），第 II 部分会专门讲。

冗余也是一种相关。4 个麦克纳姆轮的全向底盘，只有 3 个自由度：4 个轮子的"贡献向量"住在 $\R^3$ 里，4 个向量一定相关，所以同一个车体速度可以由很多种轮速组合产生。这给了你"多出来的自由"（可以用来分配负载、避开打滑），也意味着配方不再唯一，需要 1.6 节和 1.13 节的工具来选一个。

机械臂。6 自由度机械臂的雅可比（3.4 节）的 6 列，是 6 个关节各自产生的末端运动向量。它们无关，末端才能朝任意方向运动；这些列变得线性相关（例如两列撞到同一条线上）就是奇异位形：和 FIG 6 里电机卡死如出一辙。

8常见误区

误区 1：向量越多，张成越大

不是。平面里的 3 个向量一定相关，至多有 2 个"有用"。例如 $(1,0),(0,1),(1,1)$：张成还是整个平面，第三个是多余的，而且配方不再唯一：$(1,1)$ 既是 $1\cdot(1,1)$，也是 $1\cdot(1,0)+1\cdot(0,1)$。增加向量能不能扩大张成，要看它是不是新方向，不看个数。

误区 2：无关就是垂直

无关只要求"不共线"。$(1,0)$ 和 $(1,1)$ 夹角 45°，照样是平面的一组基（FIG 4 里的 CoreXY 基倒是垂直的，但"斜"那一档不是）。垂直（正交）是更强、更好用的性质：坐标可以直接用点积读出来（1.7 节、1.9 节）。

误区 3：含有零向量也可以无关

不可能。只要含 $\mathbf 0$，取 $1\cdot\mathbf 0 + 0\cdot\mathbf v_2 = \mathbf 0$，这是一个非平凡的组合得到零，所以一定相关。对机器人来说：一个卡死的电机、一个被锁住的关节，贡献的就是零向量，对张成没有任何帮助。

误区 4：基是唯一的，所以坐标自己就有意义

同一个空间有无穷多组基，所以一组数 $(2,1)$ 脱离了"哪组基"就没有意义：在标准基下它是点 $(2,1)$，在 CoreXY 基下它是点 $(3,1)$。机器人代码里永远要标明坐标系：p_world、p_cam、p_base，矩阵写成 R_world_cam。很多看似玄学的 bug，只是把一组坐标当成了另一个坐标系里的。

9小练习

1. $\mathbf v_1=(1,2)$，$\mathbf v_2=(2,4)$。它们的张成是什么？

$\mathbf v_2 = 2\mathbf v_1$，两个向量共线，所以相关，张成就是 $\mathbf v_1$ 所在的直线：斜率 $2/1 = 2$，即 $y=2x$。

2. 在基 $\{(2,1),(1,-1)\}$ 下，点 $\mathbf p=(4,-1)$（标准坐标）的坐标是？

解 $2c_1+c_2=4$，$c_1-c_2=-1$：相加得 $3c_1=3$，$c_1=1$，$c_2=2$。检验：$1\cdot(2,1)+2\cdot(1,-1)=(4,-1)$。$(4,-1)$ 本身是标准坐标，不是新坐标；$(2,1)$ 是把两个系数弄反了。

3. 平面里的三个向量 $(1,0),(0,1),(2,3)$，下面哪句话对？

前两个已经张成 $\R^2$。第三个 $(2,3) = 2(1,0)+3(0,1)$，是前两个的组合，所以三者相关：$2(1,0)+3(0,1)-1\cdot(2,3)=\mathbf 0$，系数不全为 0。基必须无关，所以不是基。

4. CoreXY 龙门架，电机 A 卡死在 $\alpha=0$，电机 B 还能转（$\beta$ 任意）。打印头能去哪里？

$\mathbf p = 0\cdot(1,1) + \beta(1,-1) = (\beta,-\beta)$，满足 $y=-x$。只剩一个原料，张成缩成一条线。

5. 一个四轮全向底盘只有 3 个自由度 $(v_x,v_y,\omega)$。四个轮子各自的"贡献向量"是 $\R^3$ 里的 4 个向量。这说明？

$\R^3$ 里至多 3 个向量无关，所以 4 个必相关。相关意味着配方不唯一，多出来的是冗余自由度。但并不是"某一个轮子永远没用"：任何一个都可以被其余三个的组合替代，这是对称的关系。

10延伸阅读

3Blue1Brown, Essence of Linear Algebra — 第 2 章“线性组合、张成与基向量”（Linear combinations, span, and basis vectors）
G. Strang, Introduction to Linear Algebra — 第 1 章（线性组合）与“线性无关、基和维数”一节（章节编号因版本而异）
G. Strang, MIT 18.06 Linear Algebra (OCW) — 第 9 讲：线性无关、基和维数
J. Ström et al., Immersive Linear Algebra — 第 2 章“向量”（含线性组合与线性无关的交互插图）