Part I · 第 1 章 线性代数 · 1.3

矩阵即变换

矩阵不是一张数表，而是一个动作：它把整个空间拉伸、旋转、剪切。只要知道 î 和 ĵ 去了哪里，就知道每一个点去了哪里。同一个矩阵还能讲第二个故事：点不动，换一把尺子去量它。

约 20 分钟 前置：1.1 向量 · 1.2 基 5 个交互

    1为什么机器人需要它

    机器人的相机看到桌上一个杯子，报告说："杯子在我前方 0.8 米、偏左 0.2 米。"可机械臂要的是杯子在世界坐标系里的位置。机器人转了个身，同一个杯子在相机里的读数全变了，杯子本身却一动没动。

    "把一堆点按同一个规则统一挪动"和"同一个点换一个坐标系重新描述"，是机器人软件里最常做的两件事。它们背后是同一个数学对象：矩阵。机器人代码里很多 bug 都出在一个问题上：这个矩阵到底是在搬动点，还是在换坐标系？

    2直觉：什么样的变换叫"线性"

    把平面想象成一张画着方格的橡皮膜。变换就是把膜上每个点挪到新位置。在所有挪法里，有一类特别"守规矩"，叫线性变换：

    • 直线变换后仍然是直线；
    • 平行、等距的网格线变换后仍然平行、等距；
    • 原点不动。

    下面切换三种变换，看看哪一种满足全部三条。

    FIG 1哪个是线性变换？
    淡色网格是变换前，亮色网格是变换后。注意"非线性"那一档：原点虽然没动，网格却弯了，所以原点不动并不够。

    线性变换有一个惊人的推论。任何向量都能写成基向量的组合：\( \mathbf v = x\,\ihat + y\,\jhat \)。网格变换后仍然"平行且等距"，这个组合关系就原封不动地保留下来：

    $$ T(\mathbf v) \;=\; \hl{x}{x}\, \hl{a1}{\ci{T(\hat\imath)}} \;+\; \hl{y}{y}\, \hl{a2}{\cj{T(\hat\jmath)}} $$
    核心洞见

    一个线性变换完全由两个向量决定：î 落在哪里、ĵ 落在哪里。把这两个落点并排写成两列，就是这个变换的矩阵。矩阵的第 1 列是 î 的落点，第 2 列是 ĵ 的落点。

    3动手玩：矩阵实验室

    拖动红色 Aî 和绿色 Aĵ 的箭头尖，矩阵会跟着变。也可以直接改矩阵里的数（左右拖动数字可以连续调节），或者点一个预设。黄色向量 Av 也可以拖动。

    FIG 2矩阵实验室
    矩阵 A（拖动或输入）
    预设
    淡色网格是原始坐标网格；亮色网格是变换后的网格；浅色平行四边形是单位正方形变换后的样子（它的面积就是 1.5 节的主角：行列式）。虚线显示 Av 是怎样由 x 份 Aî 加 y 份 Aĵ 拼成的。
    试一试
    • 只拖箭头，做出一个逆时针 90° 旋转。提示：î 应该去哪？ĵ 呢？
    • 让整个平面塌成一条直线。这时黄色向量为什么拖不动了？
    • 让网格翻面：Aî 转到 Aĵ 的"顺时针一侧"。平行四边形的颜色会变。
    • 矩阵不是单位矩阵时，拖动黄色向量，让它正好落在变换后网格的格点 (2, −1) 上。

    小游戏：猜矩阵

    紫色虚线是一个"目标变换"作用后的网格。拖动 Aî、Aĵ，让你的网格和它重合。读出目标矩阵的诀窍：找到原来的格点 (1, 0) 和 (0, 1) 跑到了哪里。

    FIG 3猜矩阵
    • 累计猜中 3 题。

    4两种视角：搬动点，还是换尺子

    同一个等式 \( \mathbf p = A\mathbf c \) 可以讲两个完全不同的故事。

    主动视角（变换）：坐标系不动，点被搬走。\( \mathbf c \) 是旧位置，\( \mathbf p \) 是新位置，两者用同一把尺子量。

    被动视角（换基）：点不动，换一把尺子。\( A \) 的两列 \( \mathbf b_1, \mathbf b_2 \) 是一套新的基向量。同一支箭头用新基去量，读数是 \( \mathbf c \)；用标准基去量，读数是 \( \mathbf p \)。这时 \( A \) 的作用是把新坐标翻译成标准坐标。

    在下面两张图里拖动任意一个黄色箭头，两张图会同步变化。

    FIG 4同一个矩阵，两个故事
    主动：点被搬走
    被动：换一把尺子
    仔细比较：左图里"被搬动后的网格"，和右图里"新的尺子"，是同一张网格。左图中被搬走的点在新网格里的读数，恰好是它搬家前在旧网格里的读数 \(\mathbf c\)。这就是两种视角相通的地方。
    主动视角（变换）被动视角（换基）
    什么在动点（整个空间）坐标系 / 尺子
    \(A\) 的列\(\ihat, \jhat\) 被送到哪里新基向量在旧坐标系中的样子
    \(\mathbf c \to \mathbf p\)旧位置 → 新位置新坐标系读数 → 标准坐标系读数
    机器人例子把点云整体旋转 30°把相机坐标系里的点换算到世界坐标系

    5再看数学

    提示：把鼠标悬停在公式中带底色的符号上，FIG 2 中对应的元素会被高亮。

    定义

    变换 \(T:\R^2\to\R^2\) 是线性的，当且仅当它保持加法和数乘：

    $$ T(\mathbf u + \mathbf w) = T(\mathbf u) + T(\mathbf w), \qquad T(s\,\mathbf u) = s\,T(\mathbf u). $$

    取 \(s = 0\) 就得到 \(T(\mathbf 0)=\mathbf 0\)，也就是原点不动。所以平移不是线性变换。

    从基向量推出矩阵

    设 î 被送到 \(\ci{(a, c)}\)，ĵ 被送到 \(\cj{(b, d)}\)。由线性：

    $$ \hl{v}{\cv{A\mathbf v}} = \hl{x}{x}\hl{a1}{\ci{\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}}} + \hl{y}{y}\hl{a2}{\cj{\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}}} = \begin{bmatrix} \ci{a} & \cj{b} \\ \ci{c} & \cj{d} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ci{a}x + \cj{b}y \\ \ci{c}x + \cj{d}y \end{bmatrix}. $$
    矩阵乘向量的两种读法

    列视角（本节的视角）：\(A\mathbf v\) 是 \(A\) 各列的线性组合，组合系数就是 \(\mathbf v\) 的各个分量。这是几何直觉的来源。
    行视角（计算时常用）：\(A\mathbf v\) 的第 \(i\) 个分量，是 \(A\) 的第 \(i\) 行与 \(\mathbf v\) 的点积（1.7 节）。两种读法算出的结果完全一样。

    换基公式

    设新基为 \(B = [\,\mathbf b_1\;\mathbf b_2\,]\)。同一支箭头在新基下坐标为 \(\mathbf c\)，在标准基下坐标为 \(\mathbf p\)，则：

    $$ \mathbf p = c_1\mathbf b_1 + c_2 \mathbf b_2 = B\,\mathbf c, \qquad \mathbf c = B^{-1}\mathbf p. $$

    注意方向：\(B\) 把"新坐标"翻译成"标准坐标"；反方向要用 \(B^{-1}\)。1.10 节会讲到，对旋转矩阵 \(R\) 来说 \(R^{-1} = R^\top\)，求逆只需要转置，这是机器人里最常用的技巧之一。

    6机器人中的它：相机坐标与世界坐标

    一个移动机器人站在世界原点（平移先放一边，5.3 节再加回来），朝向角为 \(\theta\)。它的"前方"和"左方"两根坐标轴，在世界坐标系中写出来，就是旋转矩阵 \(R(\theta)\) 的两列：

    $$ R(\theta) = \begin{bmatrix} \ci{\cos\theta} & \cj{-\sin\theta} \\ \ci{\sin\theta} & \cj{\cos\theta} \end{bmatrix}, \qquad \mathbf p_{\text{world}} = R(\theta)\,\mathbf p_{\text{robot}}. $$

    切换下面两种模式，转动机器人。"物体固定在世界中"对应被动视角：杯子不动，机器人测到的读数在变。"物体随机器人转动"对应主动视角：托盘上的杯子被机器人带着走。

    FIG 5机器人看到的杯子
    可以拖动杯子（黄点），也可以拖动机器人红色"前方"轴的末端来转动它。虚线是杯子在两个坐标系里的读数：灰色对应世界坐标轴，彩色对应机器人坐标轴。
    • 在"物体固定在世界中"模式下，转动机器人，让杯子正好位于它正前方（机器人坐标的 y 分量为 0，x 分量为正）。
    真实系统里

    ROS 的 tf2 每秒要做成千上万次这样的换算：激光雷达系 → 底盘系 → 地图系。机械臂的末端执行器、相机光心、每个关节，都各自带着一个坐标系。这一节讲的"列是新基向量在旧坐标系中的样子"，就是理解这些坐标变换的钥匙。

    7常见误区

    误区 1：平移也能用 2×2 矩阵表示

    不能。平移会移动原点，而线性变换必须保持原点不动。解决办法是给坐标添一个 1，升一维，这就是 5.3 节的齐次坐标。

    误区 2：搞反主动与被动，于是 R 和 Rᵀ 用反

    "把点逆时针转 30°"和"把坐标系逆时针转 30°"得到的读数，正好互为逆变换。写代码前，先问自己：我是在搬点，还是在换坐标系？矩阵是从哪个坐标系到哪个坐标系？推荐在变量名里写清楚，例如 R_world_cam。

    误区 3：把行当成基向量

    基向量的像放在列里。有些库按行优先存储矩阵；有些资料用行向量写成 \(\mathbf v^\top A\)，这时一切都要转置。读别人代码时先确认约定。

    8小练习

    1. 矩阵 \(\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\) 做了什么？
    看列：î → (0, 1)，ĵ → (−1, 0)。x 轴转到了 y 轴，这是逆时针 90°。
    2. 一个线性变换把 î 送到 (2, 1)，把 ĵ 送到 (−1, 1)。向量 (3, 2) 被送到哪里？
    \(3\,\ci{(2,1)} + 2\,\cj{(-1,1)} = (6-2,\; 3+2) = (4, 5)\)。
    3. "把每个点向右平移 1"是线性变换吗？
    平移满足前两条，但 \(T(\mathbf 0) = (1, 0) \ne \mathbf 0\)。这类"线性变换 + 平移"叫仿射变换，用齐次坐标可以把它写成一个矩阵（5.3 节）。
    4. 相机坐标轴在世界坐标系中的方向，组成旋转矩阵 \(R\) 的各列。已知物体在相机坐标系中的位置 \(\mathbf p_c\)，它在世界坐标系中的位置是？
    被动视角：\(\mathbf p_w = p_{c,1}\,\mathbf b_1 + p_{c,2}\,\mathbf b_2 + \dots = R\,\mathbf p_c\)。反方向，从世界坐标换算回相机坐标，才用 \(R^\top\)。

    9延伸阅读