Part I · 第 1 章 线性代数 · 1.4

矩阵乘法即复合

机器人是一串坐标系：世界、底盘、云台、相机。从一个坐标系走到下一个，是一次变换；走完整条链，是把这些变换一个接一个做下去。矩阵乘法 \(AB\) 的本意正是这个：先做 B，再做 A，合成一个新的变换。"行乘列"只是算它的记账法。顺序一换，结果就变。

约 25 分钟 前置：1.3 矩阵即变换 7 个交互

    1为什么机器人需要它

    想象一台移动机器人，底盘上立着一个云台，云台上装着相机。相机看到一个杯子，报告："杯子在我正前方 2.4 米、偏左 0.8 米。"可机械臂要的是杯子在世界坐标系里的位置。怎么换算？

    先用云台相对相机的姿态，把读数换到云台坐标系；再用云台相对底盘的姿态，换到底盘坐标系；最后用底盘相对世界的姿态，换到世界坐标系。每一步是一个矩阵，一共三步。三步不必每次分开做，把它们连乘成一个矩阵，一次就够：

    $$ {}^{W}R_{C} \;=\; {}^{W}R_{B}\;\;{}^{B}R_{H}\;\;{}^{H}R_{C} $$

    注意下标像多米诺骨牌一样"接龙"：相邻的 B 对 B、H 对 H 约掉，剩下最外面的 W 和 C。机械臂也是同一个套路：底座 → 肩 → 肘 → 腕 → 夹爪，一路连乘。

    这条链里最容易出事的是顺序。写反了，程序不会崩溃，只会给出一个看起来合理、其实错了的位置，机器人则会伸手去抓空气。本节只讲旋转，平移要到 5.3 节才加进来。

    2直觉：先 B，再 A，合成一个变换

    上一节学到：矩阵是一个动作，它由 î 和 ĵ 的落点决定。现在做两个动作：先用 \(B\) 把空间变形，再用 \(A\) 把变形后的空间再变形一次。两步合起来仍然是一个线性变换（直线仍是直线，原点不动），所以它也有一个矩阵。这个矩阵怎么找？跟上一节一样：追踪 î 和 ĵ 的去向。

    下图中，\(B\) 是逆时针转 90°，\(A\) 是水平剪切。用下面的切换键一步步看。拖动黄色向量，也可以看它被先后推到哪里。

    FIG 1两步合成一步
    基向量的旅程
    黄色向量
    淡色网格是原始网格，亮色网格是做完当前步骤后的样子。红、绿箭头是 î、ĵ 当前的位置；虚线箭头是黄色向量在前几步的位置。到最后一步，两个箭头的坐标并排写下来，就是 \(AB\)。

    看右边的记录。î 先被 \(B\) 送到 \(B\hat\imath\)（就是 \(B\) 的第 1 列），再被 \(A\) 送到 \(A(B\hat\imath)\)。ĵ 同理。所以：

    核心洞见

    \(AB\) 是"先做 B，再做 A"的矩阵。它的第 \(j\) 列，是 \(A\) 作用在 \(B\) 的第 \(j\) 列上的结果。从右往左读：和函数复合 \(f(g(x))\) 一样，离向量最近的那个最先作用。

    3动手玩：复合实验室

    现在你来选 \(A\) 和 \(B\)。改矩阵里的数（左右拖动数字可以连续调节），或点下面的预设。"先 B 后 A" 给出 \(AB\)，"先 A 后 B" 给出 \(BA\)。点 ▶ 播放：网格先从单位网格变成第一步的样子，再变成最终的样子。

    FIG 2复合实验室
    矩阵 A
    矩阵 B
    A 预设
    B 预设
    淡色网格是原始网格；青色亮网格是做完当前步骤后的网格，红、绿箭头是 î、ĵ 此刻的位置。进度条拖到最右端时，紫色虚线是另一种顺序的结果。把鼠标悬停在"再看数学"一节的符号 A、B、AB 上，这里会单独画出对应的网格。
    试一试
    • 改动至少一个矩阵，让 \(AB \ne BA\)（很容易），然后切换"先 B 后 A / 先 A 后 B"，看两个最终网格不一样。
    • 找两个可交换的矩阵（\(AB = BA\)）：两个都不是单位矩阵，且 \(A \ne B\)。提示：两个旋转？两个只沿坐标轴拉伸的矩阵？
    • 让 \(AB = I\)，而 A、B 都不是单位矩阵。这时 B 恰好把 A 撤销了（1.6 节的主题）。提示：拉伸用反向拉伸撤销，旋转用转回去撤销。
    • 让 \(AB = 0\)（四个数全为 0），而 A、B 都不是零矩阵。提示：先把平面压成一条线，再把剩下的那条线压成一个点。

    小游戏：这是 AB 还是 BA？

    给你两个矩阵 \(A\) 和 \(B\)，以及其中一种顺序的最终网格（紫色虚线）。判断它是 \(AB\) 还是 \(BA\)。诀窍：只看 î 去了哪里，也就是乘积的第 1 列。连续答对 4 题。

    FIG 3AB 还是 BA？
    • 连续答对 4 题。

    4第二种视角："行乘列"从哪里来

    课本上的乘法口诀是"第 \(i\) 行乘第 \(j\) 列，对应相乘再相加"。有了上面的图景，这条口诀不再神秘：它只是把"\(A\) 作用在 \(B\) 的第 \(j\) 列上"这件事，一个数一个数地算出来。

    在下面的表里，把鼠标移到（或点击）乘积 \(AB\) 的任意一格。左边会高亮 \(A\) 的那一行，上边高亮 \(B\) 的那一列，右边列出它们的"对应相乘再相加"。同一格也可以按列视角读：乘积的整个第 \(j\) 列，是 \(A\) 的各列按 \(B\) 的第 \(j\) 列的数配比后的组合。两种读法，同一个数。

    FIG 4乘积表
    行乘列：对应相乘再相加
    列视角：A 作用在 B 的这一列上
    A
    B
    和 FIG 2 共用同一对矩阵，这里改了那里也变。
    青色是 \(A\) 的第 \(i\) 行，紫色是 \(B\) 的第 \(j\) 列，黄色是它们算出的那一格。表的摆法让每个乘积格的"行"在它左边，"列"在它上边，一眼就能对上。
    • 把乘积 \(AB\) 的四个格子都看一遍。
    实际计算时怎么选

    手算或写循环时，用"行乘列"最顺手：每个数独立，互不依赖。想弄明白一个乘积做了什么时，用"列视角"：每一列是一个基向量的落点。机器人里要排查坐标系链的时候，也是追着一个向量一步步看它落在哪个坐标系。

    5第三种视角：到了三维，顺序更要紧

    拿一本书放在桌上。先绕 x 轴转 90°，再绕 z 轴转 90°，书最后朝哪边？反过来，先绕 z 再绕 x，会一样吗？下图把两种顺序并排放在一起。书的六个面按"垂直于哪根轴"着色：红色垂直于 x 轴（短的两端），绿色垂直于 y 轴（长边），蓝色垂直于 z 轴（封面和封底）。琥珀色边框是封面。

    两次旋转都是绕固定的世界坐标轴转的，所以每做一步，就把新矩阵乘在左边：先绕 x 再绕 z，矩阵是 \(R_z R_x\)。

    FIG 5同样两次转动，不同顺序
    先绕 x，再绕 z：RzRx
    先绕 z，再绕 x：RxRz
    拖动画面可以转动视角（两张图同步）。进度条 0 到 1 是第一次转动，1 到 2 是第二次。两个角度默认都是 90°，也可以改。数学上两张图的最终姿态由下方两个矩阵给出。
    • 找一对角度（两个都至少 20°），让两种顺序的最终姿态完全一样。有且只有一种选法，想想为什么。
    核心洞见

    平面里的旋转可交换：转 30° 再转 40°，和转 40° 再转 30°，都是转 70°。三维里的旋转一般不可交换：转轴不同，顺序就是内容的一部分。角度很小的时候两种顺序几乎一样（把两个角都拖到 5° 试试），角度大了差别才明显。机器人姿态的所有 bug，几乎都来自把这条忘了。

    6再看数学

    提示：把鼠标悬停在公式中带底色的 A、B、AB 上，FIG 2 会单独画出对应的网格。

    定义：先 B，后 A

    乘积 \(AB\) 是这样一个矩阵：对每个向量 \(\mathbf v\)，

    $$ \hl{AB}{(AB)}\,\mathbf v \;=\; \hl{A}{A}\,\bigl(\hl{B}{B}\,\mathbf v\bigr). $$

    它存在而且唯一：两个线性变换复合后仍是线性变换，而线性变换由 \(\hat\imath,\hat\jmath\) 的落点唯一决定。

    一列一列算，以及单个数的公式

    把 \(\hat\imath\) 代入定义：\((AB)\hat\imath = A(B\hat\imath) = A\mathbf b_1\)，其中 \(\mathbf b_1\) 是 \(B\) 的第 1 列。对 \(\hat\jmath\) 同理。所以

    $$ AB = A\,[\,\ci{\mathbf b_1}\;\;\cj{\mathbf b_2}\,] = [\,\ci{A\mathbf b_1}\;\;\cj{A\mathbf b_2}\,]. $$

    再把 \(A\mathbf b_j\) 按"行视角"展开（1.3 节），第 \(i\) 个分量是 \(A\) 的第 \(i\) 行与 \(\mathbf b_j\) 对应相乘再相加：

    $$ (AB)_{ij} \;=\; \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj} \;=\; a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}. $$

    形状：内维必须相同

    $$ \underbrace{A}_{m\times n}\;\underbrace{B}_{n\times p} \;=\; \underbrace{AB}_{m\times p}. $$

    \(B\) 把 \(\R^p\) 里的向量送到 \(\R^n\)，\(A\) 再把 \(\R^n\) 里的向量送到 \(\R^m\)。能接起来的前提是：\(B\) 的输出空间必须正好是 \(A\) 的输入空间，也就是两个 \(n\) 要相等。例如相机投影 \(A\)（\(2\times 3\)：三维点到二维像素）乘一个 \(3\times 3\) 的旋转 \(B\)，得到 \(2\times 3\) 的"先转再投影"；反过来 \(BA\) 没有意义，因为投影的输出是二维，而旋转要吃三维。

    结合律：怎么加括号都一样

    $$ A(BC) = (AB)C. $$

    两边都表示"先 C，再 B，最后 A"。不需要逐项验算，只需看懂两边在做同一件事。机器人里它很有用：可以提前把不变的那段链连乘好存起来，比如相机装在云台上，\({}^{H}R_{C}\) 是固定的，每帧只需要更新变化的部分。

    不可交换，以及单位矩阵

    $$ AB \ne BA \;\text{(in general)}, \qquad AI = IA = A. $$

    "先穿袜子再穿鞋"和"先穿鞋再穿袜子"不是一回事，这就是 \(AB \ne BA\)。少数情况下可以交换：\(A\) 或 \(B\) 是单位矩阵（"什么也不做"，对角线全是 1），或其中一个是单位矩阵的倍数，或两个都是对角矩阵，或两个都是同一平面内的旋转。

    转置：穿袜子与穿鞋

    $$ (AB)^{\T} = B^{\T}A^{\T}. $$

    验证只要一行：\(\big((AB)^{\T}\big)_{ij} = (AB)_{ji} = \sum_k a_{jk}b_{ki} = \sum_k (B^{\T})_{ik}(A^{\T})_{kj}\)。直觉是"撤销"：穿的时候先袜后鞋，脱的时候先鞋后袜，顺序必须反过来。同一条规则也管逆矩阵：\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)（1.6 节）。对旋转矩阵 \(R^{-1} = R^{\T}\)（1.10 节），所以反过来换算坐标系时，整条链的顺序也会反过来。

    二维旋转：角度加法白送

    旋转 \(R(\theta)\) 的两列是转过 \(\theta\) 后的 \(\hat\imath,\hat\jmath\)。先转 \(\beta\) 再转 \(\alpha\)，就是转 \(\alpha+\beta\)。把乘积算出来：

    $$ R(\alpha)R(\beta) = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ci{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta} & \cdots \\ \ci{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta} & \cdots \end{bmatrix}. $$

    它必须等于 \(R(\alpha+\beta)\)，其第 1 列是 \((\cos(\alpha+\beta),\,\sin(\alpha+\beta))\)。比较第 1 列，两角和公式就出来了：

    $$ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta, \qquad \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta. $$

    因为 \(\alpha+\beta = \beta+\alpha\)，所以 \(R(\alpha)R(\beta) = R(\beta)R(\alpha)\)：平面旋转可交换。下面的图让你亲手拨一拨。

    FIG 6转两次，角度相加
    紫色是先转 \(\beta\) 的位置，黄色是再转 \(\alpha\) 后的位置；灰色虚线是反过来先转 \(\alpha\) 的路线。两条路终点相同。可以拖动紫色或黄色箭头尖，也可以用滑块。
    • 让乘积正好是 90° 旋转 \(\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\)，且两个角都不是 0。

    7机器人中的它：云台相机的坐标系链

    云台由两个关节组成：下面一个关节绕竖直的 z 轴水平转（pan，偏航 \(\psi\)），上面一个关节让相机俯仰（tilt，\(\theta\)），它绕的是云台自己的 y 轴，这根轴会随着水平转动而转走。相机坐标系在世界里的姿态是

    $$ {}^{W}R_{C} = R_z(\psi)\,R_y(\theta), \qquad R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}, \qquad \mathbf p_W = {}^{W}R_{C}\,\mathbf p_C. $$

    \(R_y(\theta)\) 在 \(\theta>0\) 时把相机的前方（x 轴）向下压，所以正的 \(\theta\) 是"向下看"。杯子在相机坐标里固定为 \(\mathbf p_C = (2.4,\,0.8,\,0)\)（正前方 2.4 米，偏左 0.8 米）。调整 \(\psi\) 和 \(\theta\)，看它在世界里的位置如何变化。再切到"错误顺序"：\(R_y(\theta)R_z(\psi)\) 把两个矩阵的次序对调了。（为了专注旋转，所有坐标系都放在同一个原点。）

    FIG 7云台相机看到的杯子
    淡色的 x、y、z 箭头是世界坐标系；虚线箭头是只做了水平转动之后的云台坐标系（注意它的 y 轴，就是俯仰轴）；粗箭头是相机坐标系。黄点是正确算出的杯子位置，虚线折线是从相机原点出发沿 \(x_c\)、\(y_c\) 走到杯子的路。在"错误顺序"下，紫色的相机轴和紫点显示把矩阵乘反后的结果。
    • 切到"错误顺序"，找一组 \(\psi\)、\(\theta\)，让错算的位置偏离真实位置超过 1.5 米。
    • 切到"错误顺序"，让两种顺序给出相同的位置，同时俯仰角 \(|\theta|\ge 15°\)。什么时候这种错误不会被发现？
    同一个乘积的两种读法：固定轴与移动轴

    \(R_z(\psi)R_y(\theta)\) 可以这样读：从右往左，先绕世界 y 轴转 \(\theta\)，再绕世界 z 轴转 \(\psi\)，每一步都绕固定的世界轴；也可以从左往右，先转 \(\psi\)，再绕云台"现在的" y 轴转 \(\theta\)，每一步都绕当前的轴。口诀：右乘（把新旋转写在右边）是绕自身的移动轴转，左乘（写在左边）是绕固定的世界轴转。FIG 5 的书每步都是左乘；云台的俯仰是右乘。这两种说法的完整关系在 5.2 节讲。

    真实系统里

    ROS 的 tf2 把整个机器人表示成一棵坐标系树，查询"相机在地图里的位姿"，就是沿树把一串变换连乘（并在需要反向走时取逆）。机械臂的正运动学也是同一件事：每个关节一个矩阵，从底座乘到末端（5.3 节、5.10 节）。把关节角写进变量名，再把链写成 R_world_cam = R_world_base @ R_base_head @ R_head_cam，下标能接龙就基本不会错。

    8常见误区

    误区 1：顺序写反（AB 当成 BA）

    \(AB\) 是先做 B 再做 A：最后一个作用的矩阵写在最左边。很多人按"时间顺序"从左往右写，于是整条链反了。检查办法：看下标能不能接龙，\({}^{W}R_{B}\,{}^{B}R_{H}\) 对，\({}^{B}R_{H}\,{}^{W}R_{B}\) 错。

    误区 2：NumPy 里用 * 做矩阵乘法

    在 NumPy 里，对数组 A * B 是逐元素相乘，矩阵乘法要写 A @ B（或 np.matmul）。对小测验第 1 题的两个矩阵，A * B 给出 \(\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\)，A @ B 才是 \(\begin{bmatrix}2&6\\1&4\end{bmatrix}\)。两个都是 2×2，程序不会报错，只会悄悄算错。（C++ 的 Eigen 里 * 才是矩阵乘法，换语言时要留神。）

    误区 3：把形状不匹配的报错当成小问题

    看到 matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension，别急着 .T 或 reshape 把它压下去。内维对不上，往往说明你把坐标系接错了：这个矩阵的输出空间，并不是下一个矩阵的输入空间。先搞清每个矩阵"从哪来到哪去"，再动手。

    误区 4：混淆绕移动轴转和绕固定轴转

    "先绕 z 转 30°，再绕 y 转 20°"有两种合理的意思：y 轴是世界的 y 轴，还是转完之后云台自己的 y 轴？前者是 \(R_y(20°)R_z(30°)\)，后者是 \(R_z(30°)R_y(20°)\)，结果不同。写代码前先说清每个关节转的是哪根轴。

    误区 5：\((AB)^{\T} = A^{\T}B^{\T}\)

    转置和求逆都会把顺序反过来：\((AB)^{\T} = B^{\T}A^{\T}\)。如果 \(A\) 是 \(2\times 3\)、\(B\) 是 \(3\times 4\)，错误写法 \(A^{\T}B^{\T}\) 连形状都对不上（\(3\times 2\) 乘 \(4\times 3\)），这也是形状检查能救你的一个例子。

    9小练习

    1. 设 \(A = \begin{bmatrix}2&0\\1&1\end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix}1&3\\0&1\end{bmatrix}\)。\(AB\) 是？
    按列算：第 1 列是 \(A\) 乘 \(B\) 的第 1 列 \((1,0)\)，得 \((2,1)\)；第 2 列是 \(A\) 乘 \((3,1)\)，即 \(3\,(2,1) + 1\,(0,1) = (6,4)\)。所以 \(AB = \begin{bmatrix}2&6\\1&4\end{bmatrix}\)。选项 A 是 \(BA\)，选项 B 是 \(A+B\)，选项 D 是逐元素相乘（NumPy 的 *）。
    2. \(B\) 是"沿 x 方向拉伸 2 倍"（\(B=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\)），\(A\) 是"逆时针转 90°"。在 \(AB\)（先 B 后 A）下，î 和 ĵ 各落在哪里？
    追踪：î 先被拉成 \((2,0)\)，再转 90° 成 \((0,2)\)；ĵ 先保持 \((0,1)\)，再转成 \((-1,0)\)。所以 \(AB = \begin{bmatrix}0&-1\\2&0\end{bmatrix}\)。选项 B 是反过来的 \(BA\)（先转再拉：\((0,1)\) 被拉后不变，\((-1,0)\) 被拉成 \((-2,0)\)）。
    3. 已知 \({}^{W}R_{B}\)、\({}^{B}R_{H}\)、\({}^{H}R_{C}\)，要把相机坐标换算到世界坐标，应该用哪个乘积？
    相邻下标要能约掉：\({}^{W}R_{B}\,{}^{B}R_{H}\,{}^{H}R_{C} = {}^{W}R_{C}\)，把 C 坐标送到 W 坐标。选项 B 是从世界到相机的方向（\({}^{C}R_{W}\)，即上式的逆），选项 A、C的下标接不上。
    4. 相机投影矩阵 \(A\) 是 \(2\times 3\)（三维点到二维像素），\(B\) 是 \(3\times 3\) 的旋转矩阵。下面哪个说法对？
    \(AB\)：\((2\times 3)(3\times 3)\)，内维都是 3，结果 \(2\times 3\)，含义是"先旋转三维点，再投影到图像"。\(BA\)：\((3\times 3)(2\times 3)\)，内维是 3 和 2，对不上：投影输出的是二维，旋转却要吃三维。
    5. 云台先水平转 \(\psi\)（绕竖直 z 轴），再让相机绕云台自己的 y 轴俯仰 \(\theta\)。相机在世界中的姿态是？
    绕"自身当前轴"转，新旋转写在右边：\(R_z(\psi)R_y(\theta)\)。两个顺序一般不同（FIG 7 里切到"错误顺序"可以看到），只有 \(\psi = 0\) 或 \(\theta = 0\) 这类特殊情形才一样。矩阵相加没有"先后"的含义。

    10延伸阅读

    • 3Blue1Brown, Essence of Linear Algebra — 第 4 章（矩阵乘法即复合）与第 5 章（三维线性变换）
    • G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Ch. 2 — 矩阵乘法的几种读法（2.4 节 矩阵运算规则）
    • K. Lynch & F. Park, Modern Robotics, Sec. 3.2 — 旋转矩阵，以及绕固定轴与绕自身轴的复合
    • J. Ström et al., Immersive Linear Algebra — 矩阵乘法一章，带可拖动的交互插图