Part I · 第 1 章 线性代数 · 1.5

行列式

矩阵可以把平面拉伸、剪切、旋转，但有一件事对所有形状都一样：面积被放大了同一个倍数。这个倍数就是行列式。它为正，空间保持朝向；为负，空间被翻了面；为零，空间被压扁，再也回不来。

约 25 分钟 前置：1.3 矩阵即变换 · 1.4 矩阵乘法 8 个交互

    1为什么机器人需要它

    行列式只是一个数，却能一眼看出一个矩阵"好不好用"。机器人里有三个场合天天碰到它。

    • 奇异位形。机械臂的雅可比矩阵 \(J\) 把关节速度变成手端速度。一旦 \(\det J = 0\)，手端就丢了一个运动方向：不管关节怎么转，手都不能往那个方向动。手臂完全伸直就是典型例子（本课第 8 节会亲手试；3.3、3.4 节会深入）。
    • 手性（handedness）。你用标定数据拟合出一个"旋转矩阵"，或者从文件里读到一个"旋转"，它的行列式却是 \(-1\)。那不是旋转，而是带镜像的变换。机器人会很听话地伸向目标的镜像位置，左手变右手，而且没有任何报错。这是机器人代码里的经典 bug。
    • 概率密度的变换。变量经过线性（或局部线性）变换后，概率密度要除以 \(|\det|\)：同样多的概率被摊到了面积放大后的区域上。粒子滤波、扩展卡尔曼滤波和之后的归一化流（normalizing flow）都离不开它。

    2直觉：同一个面积倍数

    回到 1.3 节的实验室。\(\ihat\) 被送到第一列，\(\jhat\) 被送到第二列，面积为 1 的单位正方形变成了一个平行四边形。这个平行四边形的面积，就是本课的主角。

    但这只是一个正方形。换成一个圆、一个三角形、一个机器人的轮廓，会怎样？想一想：把任何形状切成很多很多小方格。线性变换把网格变成平行、等距的平行四边形网格，每一个小方格都变成同样大小的平行四边形。所以每个小格子的面积都乘以同一个数，加起来，整块区域的面积也乘以这个数。

    这个数叫行列式，记作 \(\det A\)。它还带一个符号：如果变换把平面"翻了面"（像照镜子，\(\ihat\) 转到了 \(\jhat\) 的顺时针一侧），我们就记为负数。

    FIG 1三个形状，同一个倍数
    淡色虚线是变换前，实色是变换后。右侧列出每个形状变换前后的面积（带符号）和它们的比值：方形、圆、三角形长得完全不同，比值却一模一样，都等于 \(\det A\)。选"翻面"，面积变成负数；选"压扁"，所有形状的面积都变成 0。
    核心洞见

    行列式是矩阵作用下面积（三维里是体积）的缩放倍数，对所有形状相同。\(|\det A| > 1\) 放大，\(|\det A| < 1\) 缩小，\(\det A < 0\) 表示空间被翻了面，\(\det A = 0\) 表示空间被压到更低的维度（一条线，甚至一个点）。

    3动手玩：行列式实验室

    拖动红色 Aî 和绿色 Aĵ 的箭头尖，或者直接改矩阵里的数，或者点一个预设。图里有三样东西：单位正方形（它的像是平行四边形）、一块不规则的"轮廓"，以及一个不对称的字母 F。虚线是变换前，实色是变换后。小弧线从 Aî 转向 Aĵ：逆时针说明朝向保持，顺时针说明被翻了面，这时平行四边形变紫，F 变成镜像。

    FIG 2行列式实验室
    矩阵 A（拖动或输入）
    预设
    淡色网格是变换后的坐标网格：每个小格子的面积都是 \(|\det A|\)。右侧读数里，单位正方形和"轮廓"变换前后的面积比是同一个数，且带符号，等于 \(\det A\)。紫色表示 \(\det A < 0\)，青色表示 \(\det A > 0\)，红色表示接近 0（平面被压扁）。
    试一试
    • 让 \(\det A = 2\)（误差 ±0.05）。不止一种做法，试试看能找到几种。
    • 做出一个保持面积（\(\det A = 1\)）但形状变了的矩阵，而且它不是旋转。提示：剪切。
    • 找一个非零矩阵，让 \(\det A = 0\)。单位正方形变成了什么？
    • 让平面翻面（\(\det A < 0\)），但不要用纯镜像（对角线上只有 ±1 的那种）。提示：把 Aî 和 Aĵ 互换位置，看看会怎样。

    小游戏：估一估面积

    下面随机给一个矩阵，单位正方形被变成了平行四边形。不要算，凭眼睛估计它的 \(\det\)：数一数平行四边形盖住了几个原来的方格（每格面积 1），注意颜色和 F 的方向（紫色表示负）。用滑块给出你的猜测，点"检查"。误差在 10% 以内算猜中。

    FIG 3估一估面积
    虚线是单位正方形，实色是它的像。背景里的方格是原来的单位网格，每格面积为 1：平行四边形盖住了大约几格？这个数就是 \(|\det|\)，符号看颜色和 F。青色的斜网格是变换后的格子，平行四边形本身正好是其中一格。想让游戏变简单，可以点"显示矩阵"，直接用 \(ad - bc\) 算，但那样练不到眼力。
    • 累计猜中 3 次（误差在 10% 以内）。

    4第二视角：\(ad - bc\) 从哪里来

    二阶行列式的公式 \(\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad - bc\) 看起来像是凭空冒出来的。其实它就是一幅小图。平行四边形的两条边是 \((a, c)\) 和 \((b, d)\)：先用一个长方形把它框住，再把四周多出来的角减掉，剩下的就是它。

    按"下一步"，一步步看。（图里取 \(a,b,c,d\) 全为正、\(\det > 0\)；其他情形思路一样，只是要小心符号。）

    FIG 4框住它，再减去角落
    红色三角形的两条直角边是 \(a\) 和 \(c\)，正是 Aî 的两个分量；绿色三角形的直角边是 \(b\) 和 \(d\)，是 Aĵ 的分量；紫色长方形是 \(b\times c\)。拖动箭头尖换一个平行四边形，结论依然是 \(ad - bc\)（箭头被限制在四个数都为正、\(\det > 0\) 的区域内，这样图才成立）。
    • 走到最后一步，然后拖动一个箭头尖，确认剩下的面积始终等于 \(ad - bc\)。

    有符号面积：两个向量围成的平行四边形

    公式里没有绝对值，所以 \(ad - bc\) 可以是负的。把两列记作 \(\mathbf u = (a, c)\)、\(\mathbf w = (b, d)\)，则 \(\det[\mathbf u\ \mathbf w] = u_x w_y - u_y w_x\) 是 \(\mathbf u\) 和 \(\mathbf w\) 围成的平行四边形的有符号面积：\(\mathbf w\) 在 \(\mathbf u\) 的逆时针一侧（左边）为正，在顺时针一侧（右边）为负，两者共线时为 0。等价地，\(\det[\mathbf u\ \mathbf w] = |\mathbf u||\mathbf w|\sin\theta\)，\(\theta\) 是从 \(\mathbf u\) 转到 \(\mathbf w\) 的有向夹角。这就是二维叉积；1.8 节会用它做"左转还是右转"的判断，并推广到三维。

    FIG 5有符号面积
    拖动 u 和 w 的箭头尖。小弧线表示从 u 转向 w 的方向。把 w 拖过 u 所在的直线，符号会翻转，经过共线的瞬间面积为 0。
    • 让 u 和 w 保持足够长（都大于 0.8），但面积为 0（共线）。
    • 点"交换 u 与 w"，观察符号怎么变。交换两列，行列式发生了什么？

    5第三视角：复合时面积相乘

    1.4 节说过，先做 \(B\) 再做 \(A\) 就是乘积 \(AB\)。既然每个矩阵都对所有面积乘一个固定倍数，那么两步下来，面积就连续乘了两次：\(B\) 乘以 \(\det B\)，\(A\) 再乘以 \(\det A\)。所以

    $$ \det(AB) \;=\; \det A \cdot \det B. $$

    拖动阶段滑块（或点"播放"），看单位正方形先被 \(B\) 变换、再被 \(A\) 变换，面积一步步变化。可以改两个矩阵，也可以点例子。

    FIG 6先 B，后 A：面积相乘
    ① 先做 B
    ② 再做 A
    例子
    虚线紫色平行四边形是第 ① 步之后的位置，虚线方框是起点。滑块到 1 时面积等于 \(|\det B|\)，到 2 时等于 \(|\det A\cdot\det B|\)。右侧最后一行同时给出直接算出的 \(\det(AB)\)，两者始终一致。
    • 让 \(A\) 和 \(B\) 各自都翻面（行列式都为负），看乘积会怎样。负负得正，翻两次又翻回来了。
    • 让 \(B\) 把平面压扁（\(\det B = 0\)），而 \(A\) 的行列式的绝对值大于 0.5。后面的 \(A\) 能把它"救回来"吗？
    • 让 \(\det(AB) = 1\)，同时 \(A\) 和 \(B\) 的行列式都不是 1（偏离 1 超过 0.4）：一个放大，一个正好缩回去。
    两个推论

    逆矩阵：\(AA^{-1} = I\)，且 \(\det I = 1\)，所以 \(\det(A^{-1}) = 1/\det A\)。压扁不可逆：\(\det A = 0\) 时 \(1/\det A\) 不存在。平面被压到一条线上后，不同的点已经叠在了一起，没有任何矩阵能把它们重新分开，这是 1.6 节要讲的内容。上面的第二个任务就是这个道理：只要 \(B\) 压扁了平面，不管后面接什么，乘积的行列式永远是 0。

    6三维：体积与手性

    一切照搬到三维：\(3\times3\) 矩阵把单位立方体变成一个平行六面体（parallelepiped），它的体积就是 \(|\det A|\)，三条棱是 \(A\) 的三列。符号讲的是手性：右手系的三根轴 \((\ihat, \jhat, \khat)\) 被送到 \((A\ihat, A\jhat, A\khat)\) 后，如果仍然满足右手定则（右手四指从 \(A\ihat\) 弯向 \(A\jhat\)，拇指指向 \(A\khat\) 一侧），则 \(\det A > 0\)；如果变成了左手系，则 \(\det A < 0\)。\(\det A = 0\) 时立方体被压成一块平板、一条线，甚至一个点。

    选一个预设或编辑矩阵，拖动画面转动视角。

    FIG 7单位立方体 → 平行六面体
    矩阵 A（3×3）
    预设
    虚线是原来的单位立方体，红、绿、蓝箭头是 \(A\ihat, A\jhat, A\khat\)，也就是新坐标系的三根轴。青色表示右手系（\(\det > 0\)），紫色表示左手系（\(\det < 0\)），红色表示被压扁（\(\det \approx 0\)）。体积等于三列的混合积 \(\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)\)，1.8 节会讲。
    • 让右手系变成左手系：右上角的标签变成"左手系"。提示：交换两列。
    • 让立方体塌成一个平面（\(\det \approx 0\)，矩阵非零）。三列之间是什么关系？

    7再看数学

    提示：把鼠标悬停在公式中带底色的符号上，FIG 2 中对应的元素会被高亮。

    用三条性质定义

    行列式是方阵的一个数，把方阵看成 \(n\) 个列向量 \([\mathbf a_1\ \cdots\ \mathbf a_n]\)，它由三条性质唯一确定：

    1. 单位不变：\(\det I = 1\)。单位正方形（立方体）体积为 1。
    2. 对每一列线性：把某一列放大 \(s\) 倍，行列式放大 \(s\) 倍；\(\det[\mathbf u+\mathbf u',\ \mathbf w] = \det[\mathbf u,\ \mathbf w] + \det[\mathbf u',\ \mathbf w]\)。几何上：拉长一条边，面积同比例变化。
    3. 交替：交换两列，行列式变号。于是两列相同时行列式为 0（与自己交换，结果既不变又变号，只能是 0）。结合第 2 条还能推出：把一列加上另一列的倍数（剪切）不改变行列式，因为 \(\det[\mathbf u + s\mathbf w,\ \mathbf w] = \det[\mathbf u,\ \mathbf w] + s\det[\mathbf w,\ \mathbf w] = \det[\mathbf u,\ \mathbf w]\)。

    二阶与三阶公式

    几何定义：\(S\) 取任意形状，面积比都是同一个数。二阶的具体公式是 \(ad-bc\)（第 4 节已经看到它从哪来）：

    $$ \hl{det}{\det A} \;=\; \det\begin{bmatrix} \hl{a1}{\ci{\mathbf a_1}} & \hl{a2}{\cj{\mathbf a_2}} \end{bmatrix} \;=\; \frac{\hl{ratio}{\text{area}(A\,S)}}{\text{area}(S)}, \qquad \det\begin{bmatrix}\ci{a} & \cj{b}\\ \ci{c} & \cj{d}\end{bmatrix} = \ci{a}\cj{d} - \cj{b}\ci{c}. $$

    三阶可以沿第一行做余子式展开（cofactor expansion），符号按 \(+,-,+\) 交替：

    $$ \det A = a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix} \;=\; \mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c). $$

    最右边是三列 \(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c\) 的混合积（triple product，1.8 节），它给出平行六面体的有符号体积。算一个例子：\(A = \begin{bmatrix}2&0&1\\1&3&2\\0&1&1\end{bmatrix}\)，展开得 \(2(3\cdot1-2\cdot1) - 0 + 1(1\cdot1-3\cdot0) = 2 + 1 = 3\)。用混合积核对：三列是 \(\mathbf a=(2,1,0)\)、\(\mathbf b=(0,3,1)\)、\(\mathbf c=(1,2,1)\)，\(\mathbf b\times\mathbf c = (1,1,-3)\)，\(\mathbf a\cdot(1,1,-3) = 2+1+0 = 3\)。一致。

    常用性质

    性质几何含义
    \(\det(AB) = \det A\,\det B\)先后两次变换，面积倍数相乘（FIG 6）
    \(\det A^{\top} = \det A\)用行围成的平行四边形，面积与用列围成的相同
    \(\det(cA) = c^{n}\det A\)每个方向都放大 \(c\) 倍，\(n\) 维体积放大 \(c^n\)（二维面积放大 \(c^2\)，不是 \(c\)）
    \(\det A^{-1} = 1/\det A\)逆变换把面积倍数倒过来
    \(\det A = 0 \iff\) 列线性相关 \(\iff A\) 不可逆平行四边形（六面体）塌了；压扁的空间无法复原（1.6 节）
    三角矩阵：对角元之积这也是用 LU 分解算行列式的原理
    旋转 \(\det R = +1\)，镜像 \(\det = -1\)旋转不改变面积和朝向；镜像不改变面积，但翻面（1.10 节）
    实际怎么算

    教科书里的余子式展开要做约 \(n!\) 次乘法，\(n=20\) 就已经不可能。数值库（NumPy、Eigen、LAPACK）先做 LU 分解 \(PA = LU\)，行列式就是 \(U\) 对角线之积乘以置换的符号，代价约 \(n^3\)。矩阵稍大时行列式很容易上溢或下溢（\(100\times100\) 的 \(0.1I\) 的行列式是 \(10^{-100}\)），所以常算它的对数 np.linalg.slogdet。

    8机器人中的它：奇异位形与手性检查

    两连杆机械臂：行列式何时为零

    把雅可比 \(J\) 当成"把关节速度变成手端速度的矩阵"：\(\dot{\mathbf x} = J\dot{\mathbf q}\)（它怎么来的是 3.3、3.4 节的内容）。\(J\) 的第 1 列是只转关节 1 时手端的速度，第 2 列是只转关节 2 时的速度。两个关节速度都在 \([0,1]\) 内时，手端的速度就落在 \(J\) 的两列围成的速度平行四边形里，它的面积是 \(|\det J|\)。对平面两连杆臂（杆长 \(\ell_1,\ell_2\)），

    $$ J = \begin{bmatrix} \ci{-\ell_1 s_1 - \ell_2 s_{12}} & \cj{-\ell_2 s_{12}} \\ \ci{\ell_1 c_1 + \ell_2 c_{12}} & \cj{\ell_2 c_{12}} \end{bmatrix}, \qquad \det J = \ell_1\ell_2\,\sin\theta_2 . $$

    （\(s_1=\sin\theta_1\)，\(c_{12}=\cos(\theta_1+\theta_2)\)，依此类推。）注意 \(\det J\) 只和肘关节角 \(\theta_2\) 有关，与肩关节角 \(\theta_1\) 无关：手臂整体转一个角度，只是把速度平行四边形整个转一下，面积不变。\(\theta_2 = 0\)（手臂完全伸直）或 \(\theta_2 = \pm\pi\)（完全折叠）时 \(\det J = 0\)，两列平行，平行四边形塌成线段：手端不能沿手臂方向运动。\(\theta_2\) 的符号决定 \(\det J\) 的符号：肘朝两侧弯，是两种"手性"不同的位形。

    拖动肘部（圆圈）或手端，或者用滑块。右侧小图画出 \(\det J\) 随 \(\theta_2\) 的变化。

    FIG 8速度平行四边形与 \(\det J\)
    杆长 \(\ell_1 = 1.2\)，\(\ell_2 = 1.0\)。手端处的红、绿箭头是 \(J\) 的两列（缩小到 0.6 倍），它们围成的平行四边形是"单位关节速度"能产生的手端速度范围；\(\det J > 0\) 时青色，\(< 0\) 时紫色，接近 0 时红色。右侧曲线是 \(\ell_1\ell_2\sin\theta_2\)，圆点是当前位形，红点标出奇异位形 \(\theta_2 = 0\) 和 \(\theta_2 = \pm\pi\)（\(-\pi\) 与 \(\pi\) 是同一个姿态）。
    • 把机械臂带到奇异位形（\(|\det J| < 0.07\)）。平行四边形变成了什么？手端被"锁"住了哪个方向？
    • 让 \(\det J\) 分别取到一次明显为正、一次明显为负（绝对值大于 0.3）。你是怎么过去的？必须经过什么？
    真实系统里：手性检查

    凡是"估计出来"或"从文件里读出来"的旋转矩阵，都应该检查 assert abs(np.linalg.det(R) - 1) < 1e-6（同时 \(R^\top R = I\)，1.10 节）。常见的出错来源：(1) 基于 SVD 的位姿拟合（如 Kabsch / Umeyama 算法）在点几乎共面或噪声较大时，可能返回 \(\det R = -1\) 的"最佳正交矩阵"，必须修正符号：\(R = V\,\mathrm{diag}(1,1,\operatorname{sign}\det(VU^\top))\,U^\top\)（SVD 见 1.12 节）；(2) 左手系与右手系之间的转换：Unity 用左手系，ROS 用右手系，从一个引擎搬位姿到另一个，要做一次镜像，漏掉就是镜像世界；(3) 图像坐标 \(y\) 轴朝下，相机内参和坐标轴的约定一旦写错一个符号，也会让整个场景左右翻转。

    9常见误区

    误区 1：行列式小，就说明矩阵"快要奇异"

    不对。\(\det(0.1\,I_3) = 0.1^3 = 0.001\)，可这个矩阵是均匀缩小，处处表现良好，求逆一点问题也没有。行列式把"整体尺度"和"有多扁"混在了一起。衡量"快要奇异"要用与尺度无关的量：奇异值之比，即条件数（1.12 节）。反过来也成立：\(\operatorname{diag}(10^6, 10^{-6})\) 的行列式是 1，却极其病态。

    误区 2：\(\det(A+B) = \det A + \det B\)

    不成立。行列式对乘积友好（\(\det AB = \det A\det B\)），对和不友好。反例：\(A = I\)，\(B = -I\)（二维）。\(\det A = \det B = 1\)，可 \(A + B = 0\)，\(\det(A+B) = 0 \ne 2\)。同理 \(\det(cA) = c^n\det A\)，而不是 \(c\det A\)。

    误区 3：任何矩阵都有行列式

    只有方阵才有。\(3\times2\) 的矩阵把平面送进三维空间，\(ad-bc\) 这类公式根本写不出来，"翻面"也没有意义（在三维里平面可以随意翻转）。它的面积缩放倍数依然存在，等于 \(\sqrt{\det(A^\top A)}\)（所有奇异值之积），但永远非负。机械臂的雅可比如果不是方阵（冗余臂），\(\det J\) 没有意义，该用奇异值或 Yoshikawa 可操作度 \(\sqrt{\det(JJ^\top)}\)（1.12 节）。

    误区 4：行列式告诉你变换的"样子"

    它只告诉你面积倍数，不告诉你形状怎么变。单位矩阵、旋转、剪切 \(\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\) 的行列式全是 1，形状却天差地别（FIG 2 的第二个任务）。要知道"拉伸了多少、朝哪个方向"，要看奇异值（1.12 节）和特征值（1.11 节）。

    误区 5：用余子式展开去算大矩阵的行列式

    展开公式适合手算 \(2\times2\)、\(3\times3\)。它的运算量按 \(n!\) 增长：\(10\times10\) 要三百多万次乘法，\(20\times20\) 要 \(10^{18}\) 次以上。代码里用 LU 分解（\(n^3\)），并且尽量不要判断 "det == 0" 来决定能否求逆：浮点数里几乎永远不会恰好等于 0，该看条件数或最小奇异值。

    10小练习

    1. \(A = \begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}\)。一块面积为 3 的区域经过 \(A\) 变换后，面积是多少？
    \(\det A = 2\cdot3 - 1\cdot1 = 5\)，任何形状的面积都乘以 5：\(3\times5 = 15\)。（5 是倍数本身，不是新面积；21 把行列式算成了 \(2\cdot3+1\cdot1 = 7\)。）
    2. 标定程序输出 \(R = \begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)，三列长度都是 1、两两垂直，但 \(\det R = -1\)。这说明什么？
    正交归一的列保证长度和夹角不变，\(|\det| = 1\)；符号才决定是旋转（+1）还是带镜像（−1）。这个矩阵交换了 x 和 y，是关于平面 \(x = y\) 的镜像。绕 z 转 180° 的矩阵是 \(\operatorname{diag}(-1,-1,1)\)，行列式 \(+1\)。它显然可逆（\(|\det| = 1 \ne 0\)），所以"不可逆"不对。
    3. 已知 \(\det A = 2\)，\(\det B = -3\)。\(\det(A^{-1}B^2)\) 是多少？
    \(\det(A^{-1}B^2) = \det(A^{-1})\,(\det B)^2 = \tfrac12\cdot9 = 4.5\)。\(B\) 用了两次，翻面两次又翻回来，所以符号为正。
    4. \(A = 0.1\,I_3\) 的行列式是 0.001。怎样理解？
    \(\det(cA) = c^n\det A\)，所以 \(0.1^3 = 0.001\) 只反映整体尺度。\(A^{-1} = 10\,I\) 很规矩，条件数（最大奇异值比最小奇异值）是 1。体积被缩小到千分之一，不是放大。判断"快要奇异"要看奇异值之比，不是行列式的大小。
    5. 两连杆臂，\(\ell_1 = 0.4\ \text{m}\)，\(\ell_2 = 0.3\ \text{m}\)，肘关节角 \(\theta_2 = -30°\)。\(\det J\) 是多少？
    \(\det J = \ell_1\ell_2\sin\theta_2 = 0.4\times0.3\times\sin(-30°) = 0.12\times(-0.5) = -0.06\)。肘朝另一侧弯，符号为负；\(-0.12\) 忘了乘 \(\sin\theta_2\)；\(-0.104\) 错用了 \(\cos 30°\)。|\(\det J\)| 与 \(\theta_1\) 无关。

    11延伸阅读