叉积

机械臂手里拿着一块砖，肩关节要出多大的力来撑住它？这取决于砖有多重，也取决于砖离关节有多远、往哪个方向压。同样 10 牛的力，顺着手臂的方向推，关节纹丝不动；垂直于手臂推，关节被拧得最狠。"一个力对关节有多大的拧劲"，就是叉积算出来的：\(\boldsymbol\tau = \mathbf r \times \mathbf F\)。

同一个运算在机器人里反复出现：

• 力矩：\(\boldsymbol\tau = \mathbf r\times\mathbf F\)，一个力拧关节的力度。
• 旋转物体上一点的速度：转台、轮子、旋转的夹爪上，离轴心 \(\mathbf r\) 处的点速度为 \(\mathbf v = \boldsymbol\omega\times\mathbf r\)。
• 曲面的法向量：点云里取相邻三点，用叉积得到它们所在平面的法向，这就是抓取时的接近方向。
• 左转还是右转：二维路径规划里，判断拐角、求凸包、判断障碍物在直线哪一侧，用的都是叉积的符号。

更往后，叉积的矩阵形式 \(\skew{\boldsymbol\omega}\) 是旋转的"导数"，5.5 和 5.6 节的李代数、指数映射都建立在它上面。

在平面里，两个向量围出一个平行四边形，面积是一个数（1.5 节的行列式）。到了三维，这个平行四边形可以朝任何方向"躺着"：只说面积还不够，还得说它躺在哪个平面里。叉积把两件事打包成一个向量：

• 长度是平行四边形的面积，\(\lVert\mathbf a\times\mathbf b\rVert = \lVert\mathbf a\rVert\lVert\mathbf b\rVert\sin\theta\)；
• 方向垂直于这个平面，也就是同时垂直于 \(\mathbf a\) 和 \(\mathbf b\)。垂直方向有两个（朝上或朝下），由右手定则选：四指从 \(\mathbf a\) 弯向 \(\mathbf b\)，拇指指向 \(\mathbf a\times\mathbf b\)。

如果 \(\mathbf a\)、\(\mathbf b\) 平行，平行四边形压成一条线，面积为零，叉积就是零向量。下面固定 a，让 b 在水平面里转一圈，看 a × b 怎么变。

把 \(\mathbf a\)、\(\mathbf b\) 都放进 xy 平面（\(z=0\)）。它们围出的平行四边形躺在这个平面里，叉积必然沿着 z 轴，只剩一个分量要算：

这正是 1.5 节的行列式：面积的正负号里藏着方向信息。结果为正，说明 \(\mathbf b\) 在 \(\mathbf a\) 的左边（从 \(\mathbf a\) 逆时针转不到 180° 就能到 \(\mathbf b\)）；为负，\(\mathbf b\) 在右边；为零，两者共线。拖动下图的两个箭头尖。

一台机器人沿着路径点走。在每个拐角处，设进来的方向是 \(\mathbf u = p_i - p_{i-1}\)，出去的方向是 \(\mathbf v = p_{i+1}-p_i\)，则 \(\mathbf u\times\mathbf v>0\) 是左转，\(<0\) 是右转。不用算角度，不用 \(\arctan\)，一次乘减就够了。

"搭路径"模式下拖动路径点，实时看每个拐角；"抢答"模式下看一眼就判断。

固定 \(\mathbf a\)，看 \(\mathbf b\mapsto\mathbf a\times\mathbf b\)。这个映射对 \(\mathbf b\) 是线性的：\(\mathbf a\times(s\mathbf b+t\mathbf c) = s\,\mathbf a\times\mathbf b + t\,\mathbf a\times\mathbf c\)。1.3 节说过，线性映射都是矩阵。它的矩阵由 \(\mathbf a\) 的三个分量排成，叫做 \(\mathbf a\) 的叉积矩阵（hat 矩阵）：

用下面的图验证：改 \(\mathbf a\) 和 \(\mathbf b\)（左右拖动数字，或直接输入），看矩阵乘出来的结果是不是琥珀色的 \(\mathbf a\times\mathbf b\)。淡琥珀色的圆盘是单位球经过 \(\skew{\mathbf a}\) 后的像：球被压扁成一个垂直于 \(\mathbf a\) 的圆盘，半径 \(\lVert\mathbf a\rVert\)。矩阵的秩是 2，沿 \(\mathbf a\) 的方向被完全抹掉。

每个分量是"另外两个下标"的交叉相乘再相减，下标按 1→2→3→1 循环。更好记的是一个"形式上的行列式"，第一行放的不是数而是基向量：

其中 \(\hl{theta}{\theta}\in[0,\pi]\) 是 \(\mathbf a\)、\(\mathbf b\) 的夹角。理由：以 \(\lVert\mathbf a\rVert\) 为底，平行四边形的高是 \(\lVert\mathbf b\rVert\sin\theta\)，面积 = 底 × 高。把它和点积（1.7 节）放在一起看：

其中 \(V_{\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c}\) 是 \(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c\) 张成的平行六面体的体积，三重积是带符号的体积。\(\mathbf b\times\mathbf c\) 的长度是底面积，方向垂直于底面；再和 \(\mathbf a\) 点积，就是 \(\mathbf a\) 在垂直方向的分量（高）乘底面积，即体积。正负号反映 \((\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)\) 是不是右手系，这就是 1.5 节说的三维行列式。例：\(\mathbf a=(1,0,0)\)，\(\mathbf b=(1,2,0)\)，\(\mathbf c=(1,1,3)\)，则 \(\mathbf b\times\mathbf c=(6,-3,-1)\)，\(\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)=6\)；矩阵是上三角的，行列式 \(1\cdot2\cdot3=6\)，一致。

第二条（斜对称）读矩阵就能看出：对角线是 0，关于对角线对称位置的两个数互为相反数。第三条是 \(\mathbf a\times\mathbf a=\mathbf 0\)。因为 \(\skew{\mathbf a}\) 把 \(\mathbf a\) 变成零，它不可逆，秩为 2，零空间是 \(\mathbf a\) 所在的直线（1.6 节）。第四条由 BAC-CAB 得到：\(\skew{\mathbf a}^2\mathbf b=\mathbf a\times(\mathbf a\times\mathbf b)=\mathbf a(\mathbf a\cdot\mathbf b)-\mathbf b\lVert\mathbf a\rVert^2\)。第五条再乘一次 \(\skew{\mathbf a}\)，利用 \(\skew{\mathbf a}\mathbf a=\mathbf 0\)：\(\skew{\mathbf a}^3=\skew{\mathbf a}\mathbf a\mathbf a\T-\lVert\mathbf a\rVert^2\skew{\mathbf a}=-\lVert\mathbf a\rVert^2\skew{\mathbf a}\)。

对单位向量 \(\hat{\mathbf u}\)，\(K=\skew{\hat{\mathbf u}}\) 满足 \(K^3=-K\)。于是 \(K\) 的高次幂只在 \(K\) 和 \(K^2\) 之间来回，指数级数 \(e^{\theta K}\) 能合并成 \(I+\sin\theta\,K+(1-\cos\theta)K^2\)：这就是 5.6 节的罗德里格斯公式。

关节在原点，连杆伸到作用点 \(\mathbf r\)，那里有一个力 \(\mathbf F\)。关节感受到的拧劲是 \(\boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F\)，它沿着关节轴。在平面里它退化成一个数 \(\tau=r_xF_y-r_yF_x\)：正号表示逆时针拧。大小还可以写成 \(\tau=\lVert\mathbf F\rVert\cdot d\)，\(d\) 是关节到力的作用线的垂直距离（力臂）。只有垂直于连杆的那部分力才拧关节。

拖动连杆末端（青色点）和力的箭头尖（紫色）。切换到"转动"模式，可以看同一个叉积的另一种用法。

点云里取相邻三点 \(p_1,p_2,p_3\)，两条边的叉积垂直于它们所在的平面：

未归一化的 \(\mathbf N\) 顺手给出三角形的面积 \(A_\triangle\)（平行四边形的一半）。下面给三个点加一点测量噪声，看噪声怎么影响法向量。深色的 琥珀色箭头 是无噪声的法向量，青色小点是 36 次加噪后的单位法向量的尖端。