Part I · 第 2 章微积分 · 2.4

泰勒展开

2.1 节说，光滑函数放大后是一条直线。泰勒展开把这句话升级：放大后是直线，稍微放松一点是抛物线，再放松一点是三次曲线……每多算一阶导数，近似就能在更大的范围内贴紧函数。机器人里的"小角度近似"、线性化、Newton 法、EKF，全是截断的泰勒展开。

约 25 分钟前置：2.1 导数 · 2.2 链式法则 4 个交互

1为什么机器人需要它

机器人学几乎每个地方都在做同一件事：把难算的非线性函数，在工作点附近换成容易算的多项式。

倒立摆的控制器按 $\sin\theta\approx\theta$ 设计（线性化），在竖直附近稳稳地工作。
扩展卡尔曼滤波（EKF）把非线性的运动与观测模型在当前估计处展开到一阶。
Newton 法、Gauss–Newton、SQP 每一步都在解"一阶或二阶泰勒模型"的最优点。
小旋转 $R\approx I+[\boldsymbol\omega]_\times$，是李群里指数映射的一阶展开。

用得多，就更要知道：这个多项式在多大范围内可信，丢掉的那一项有多大。这是本节要讲清楚的。

2直觉：每多一阶导数，多贴紧一圈

想在 $x=a$ 处"复制"一个函数。零阶：只对上高度，得到一条水平线。一阶：再对上斜率，得到切线。二阶：再对上弯曲程度，得到抛物线。三阶：对上弯曲程度的变化……每对上一阶，近似曲线就和真函数多"黏"在一起一段。

下面拖动阶数滑块，拖动琥珀色的展开点 $a$，再拖紫色的探针 $x$，观察右图：误差随离展开点的距离 $|x-a|$ 缩小得有多快。

FIG 1泰勒多项式 Tₙ

函数（琥珀）与 Tₙ（青）

log₁₀ 误差对 log₁₀ |x − a|

左：展开点 $a$（琥珀点）与探针 $x$（紫点）。右：青色线是真实误差 $|f(x)-T_n(x)|$，紫色虚线是斜率为 $n+1$ 的参考线。离 $a$ 越近，误差按 $|x-a|^{n+1}$ 缩小，阶数每加 1，双对数图上的直线就陡一级。

选 sin x，$a=0$，阶数调到 7：把探针拖到 $x=\pm\pi$ 附近，误差仍小于 0.1。
选 ln(1+x)，$a=0$，阶数 6 以上，把探针拖到 $x>1$：阶数越高误差越大（超出收敛半径）。

核心洞见

泰勒多项式是"局部近似"：在展开点附近，$n$ 阶近似的误差是 $O(|x-a|^{n+1})$，离得越近越准、阶数越高越准；但远离展开点，多项式可能很快跑偏，甚至越高阶越差（有些函数有"收敛半径"，比如 $\ln(1+x)$ 在 $|x|>1$ 处）。

3动手玩：小角度、Newton 法、摆

小角度近似到底有多小？

$\sin\theta\approx\theta$、$\cos\theta\approx1$、$\cos\theta\approx1-\tfrac12\theta^2$ 是机器人里最常用的三个近似。右侧是它们的相对误差随角度变化的曲线（纵轴是以 10 为底的对数，−2 即 1%）。"小"得看你容忍多大误差。

FIG 2小角度近似的误差

水平虚线是 1% 误差线，竖线是你选的角度 $\theta$。阶数每升一阶，曲线整体下移一大截；但每条曲线都随角度迅速上升（$\cos\theta\approx1$ 在 60° 处已达 100%）。

找到 $\sin\theta\approx\theta$ 的误差刚好达到 1% 的角度（约 14°）。
找到 $\cos\theta\approx1$ 的误差达到 1% 的角度。它为什么比 sin 的小得多？

Newton 法：每一步都是一个泰勒模型

求根：在当前点 $x_k$ 用一阶泰勒（切线）代替 $f$，解切线的零点作为下一个点：$x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)$。求极小：用二阶泰勒（抛物线）代替 $g$，跳到抛物线的顶点：$x_{k+1}=x_k-g'(x_k)/g''(x_k)$。拖动起点 $x_0$，点"步进"，看它怎么走，什么时候出问题。

FIG 3Newton 法

函数

log₁₀ 残差随迭代次数

青线（求根时）或青色抛物线（求极小时）是当前点的泰勒模型，紫色点是模型给出的下一个点。残差是 $|f(x_k)|$（求根）或 $|g'(x_k)|$（求极小）。收敛时每一步"有效数字翻倍"，对数残差下降得越来越快。

求根，函数 $x^2-2$，$x_0=1$：看到残差在 6 步内降到 $10^{-12}$ 以下（二次收敛）。
求根，函数 $x^3-2x+2$，$x_0=0$：迭代在 0 和 1 之间来回跳，永远到不了根。
求极小，选"非凸"，在 $g''<0$ 的地方起步：这一步让 g 变大了。

摆：线性化好用到哪里？

单摆满足 $\ddot\theta=-\tfrac g\ell\sin\theta$。线性化（$\sin\theta\approx\theta$）得到简谐运动 $\ddot\theta=-\tfrac g\ell\theta$，周期和振幅无关。真实的摆摆得越大，周期越长。下面把两者的轨迹放在一起，改变初始摆角。

FIG 4真实的摆 vs 线性化的摆

θ(t)（度）

青色：真实（非线性）的摆。紫色：线性化的摆。小摆角时两条曲线重合，大摆角时线性模型"走得太快"，几个周期之后相位差越来越大。"阻尼 c"给两个模型都加上 $-c\dot\theta$ 项；有阻尼时不再显示周期，任务也要求 $c=0$。

摆角 ≤ 10°：两条轨迹在 8 秒内几乎无法区分（最大差小于 0.5°）。
摆角 ≥ 90°：真实的摆周期比线性模型长 15% 以上。

4再看数学

提示：悬停在公式带底色的符号上，FIG 1 里对应的部分会高亮。

泰勒公式

设 $f$ 在 $a$ 附近有 $n+1$ 阶导数，则

$$ f(x)=\underbrace{\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k}_{\hl{poly}{T_n(x)}}\;+\;\underbrace{\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,\hl{pow}{(x-a)^{n+1}}}_{R_n(x)},\qquad \xi\in(a,x). $$

展开到前几项：$f(a)+f'(a)\,\delta+\tfrac12f''(a)\,\delta^2+\tfrac16f'''(a)\,\delta^3+\cdots$，$\delta=x-a$。系数里的 $1/k!$ 是为了让多项式的 $k$ 阶导数在 $a$ 处恰好等于 $f^{(k)}(a)$。余项说明误差是 $O(|\delta|^{n+1})$，系数由 $f^{(n+1)}$ 控制：函数"弯"得越厉害，误差越大。

值得记住的几个展开（在 0 处）

函数	展开	适用范围
$\sin x$	$x-\tfrac{x^3}{6}+\tfrac{x^5}{120}-\cdots$	所有 $x$
$\cos x$	$1-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^4}{24}-\cdots$	所有 $x$
$e^x$	$1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}+\cdots$	所有 $x$
$\ln(1+x)$	$x-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{3}-\cdots$	$\|x\|<1$
$\dfrac1{1-x}$	$1+x+x^2+x^3+\cdots$	$\|x\|<1$

多元函数

对 $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$，到二阶：

$$ f(\mathbf x+\boldsymbol\delta)\;\approx\;f(\mathbf x)+\nabla f(\mathbf x)^{\!\top}\boldsymbol\delta+\tfrac12\,\boldsymbol\delta^{\!\top}H(\mathbf x)\,\boldsymbol\delta. $$

一阶项里的梯度见 3.2 节，二阶项里的 Hessian 见 3.5 节。对向量函数 $\mathbf f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$，一阶项是雅可比：$\mathbf f(\mathbf x+\boldsymbol\delta)\approx\mathbf f(\mathbf x)+J\boldsymbol\delta$（3.3 节），这就是 EKF 的线性化。

Newton 法的来历与速度

令一阶模型 $f(x_k)+f'(x_k)(x-x_k)=0$，解得 $x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)$。把 $f$ 展开到二阶可以证明：在单根附近 $e_{k+1}\approx\dfrac{f''(x^\star)}{2f'(x^\star)}\,e_k^2$，误差被平方：$10^{-2}\to10^{-4}\to10^{-8}\to10^{-16}$，这叫二次收敛。求极小就是对导数 $g'$ 做 Newton 法，等价于每步最小化二阶泰勒模型。

5机器人中的它：线性化的有效区域

FIG 4 的结论可以直接搬到控制器设计里：

用线性化模型设计的控制器（PD、LQR）只在工作点附近有保证。摆角 10° 以内，模型误差不到 1%；超过 60°，线性模型已经完全不对了。
EKF 在当前估计 $\hat{\mathbf x}$ 处线性化。如果估计偏离真值太远（比如机器人"被绑架"），线性化点本身错了，滤波器会越修越偏，这叫不一致。
轨迹优化每一步用二阶泰勒模型，为防止"跳出可信范围"，要加信赖域（6.5 节）：限制步长不超过模型可信的半径。
数值上的警告：$1-\cos\theta$ 在 $\theta$ 很小时会因为两个近似相等的数相减而丢掉有效数字，应当写成 $2\sin^2(\theta/2)$，或者直接用泰勒展开 $\theta^2/2$。

真实系统里

旋转的最基本事实也是泰勒展开：绕轴 $\hat{\mathbf n}$ 转很小的角 $\phi$，$R=\exp([\phi\hat{\mathbf n}]_\times)\approx I+[\phi\hat{\mathbf n}]_\times$。IMU 积分、视觉里程计、姿态估计里随处可见"小旋转 $\approx I+$反对称矩阵"，我们会在 5.6、5.7 节把它做严格。

6常见误区

误区 1：阶数越高越准

只在收敛半径内成立，也只在离展开点不太远时成立。FIG 1 里 $\ln(1+x)$ 在 $x>1$ 处越展开越离谱。

误区 2：数错阶数

"一阶近似"误差是 $\delta^2$，"二阶近似"误差是 $\delta^3$。$\cos\theta\approx1$ 虽然是"零阶"，误差却是 $\theta^2/2$；而 $\sin\theta\approx\theta$ 是"一阶"，误差是 $\theta^3/6$，因为 $\sin$ 的二阶项恰好为零。

误区 3：Newton 法总是收敛

它只保证"离解足够近时二次收敛"。起点不好，会来回跳（FIG 3），甚至发散。求极小时若 Hessian 不是正定，Newton 步会指向上坡或鞍点。实用的做法是配合线搜索或信赖域，或给 Hessian 加阻尼（Levenberg–Marquardt，6.6 节）。

误区 4：角度用度

$\sin\theta\approx\theta$ 要求 $\theta$ 是弧度。$\sin 10^\circ\approx10$ 是荒谬的。

7小练习

1. 用 $e^x$ 在 0 处的二阶泰勒多项式估计 $e^{0.1}$。

$1+0.1+0.1^2/2=1.105$，真值 1.10517。

2. 用 $\cos\theta\approx1-\tfrac12\theta^2$ 估计 $\cos 0.2$（弧度）。

$1-0.5\times0.04=0.98$（真值 0.98007）。

3. 二阶泰勒近似的误差是 $O(\delta^3)$。把 $\delta$ 缩小一半，误差大约变成原来的……

$(1/2)^3=1/8$。FIG 1 右图里斜率就是 $n+1=3$。

4. 用 Newton 法解 $x^2-2=0$，从 $x_0=1$ 出发，$x_1$ 是多少？

$x_1=1-\dfrac{1-2}{2\cdot1}=1.5$。再走一步 $x_2=1.4167$，已经只差 $0.002$。

5. 为什么 $\ln(1+x)$ 在 0 处的泰勒级数在 $x=1.6$ 处越加项误差越大？

$\ln(1+x)$ 在 $x=-1$ 处有奇点，离展开点 0 的距离是 1，这决定了收敛半径。

8延伸阅读

3Blue1Brown, Essence of Calculus — 第 11 章：泰勒级数
J. Nocedal & S. Wright, Numerical Optimization, Ch. 3, 6 — 信赖域与 Newton 类方法
T. Barfoot, State Estimation for Robotics, Ch. 4 — 非线性系统的线性化与 EKF
S. Boyd & L. Vandenberghe, Convex Optimization, App. A.4 — 导数与二阶近似

函数	展开	适用范围
\(\sin x\)	\(x-\tfrac{x^3}{6}+\tfrac{x^5}{120}-\cdots\)	所有 \(x\)
\(\cos x\)	\(1-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^4}{24}-\cdots\)	所有 \(x\)
\(e^x\)	\(1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}+\cdots\)	所有 \(x\)
\(\ln(1+x)\)	\(x-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{3}-\cdots\)	\(\|x\|<1\)
\(\dfrac1{1-x}\)	\(1+x+x^2+x^3+\cdots\)	\(\|x\|<1\)