Part I · 第 5 章刚体运动与李群 · 5.8

伴随表示

同一个刚体运动，在世界系里看和在机体系里看，twist 的六个数不一样。伴随矩阵 Ad_T 就是两种看法之间的换算表：它把 twist 从一个坐标系搬到另一个坐标系，也把左扰动换成右扰动。机器人身上的传感器和控制器各用各的坐标系，没有它，数据就对不上。

约 25 分钟前置：5.3 SE(3) · 5.6 指数映射 · 5.7 扰动 4 个交互

1为什么机器人需要它

一台移动操作机器人身上有一串坐标系：世界系、底盘系、机械臂基座系、法兰盘系、相机系、工具系。每个传感器和每个控制器各讲各的坐标系：IMU 的陀螺仪测的是 IMU 系里的角速度，轮式里程计给的是底盘系里的速度，视觉伺服说"相机往右挪两厘米"，是相机系里的指令，而机械臂控制器要的是基座系里的末端速度，腕部力传感器报告的力和力矩又在传感器系里。

如果只是位置向量，换系很简单：左乘一个旋转加上平移。可是速度不一样。一个刚体的速度不是一个向量，而是 6 个数 $(\boldsymbol\omega,\mathbf v)$，而且其中的线速度 $\mathbf v$ 取决于"你问的是哪个点的速度"。把 twist 换到另一个坐标系，不仅要旋转，还要把"参考点"也换掉，中间多出一项由杠杆臂产生的 $\mathbf t\times\boldsymbol\omega$。完成这个换算的 6×6 矩阵，就是伴随矩阵 $\operatorname{Ad}_T$。

它还有两个更隐蔽的用处：把 5.7 节的左扰动换成右扰动，以及把一个坐标系里的协方差换到另一个坐标系里（5.9 节）。几乎每个涉及多坐标系的估计器或控制器里，都有一个 $\operatorname{Ad}$。

2直觉：同一个速度场，两种读法

把一个正在运动的刚体想成一整片"橡皮板"：板上每个点都有自己的速度，所有速度合起来是一个速度场。刚体运动的速度场很规整：$\mathbf u(\mathbf x) = \mathbf u_0 + \boldsymbol\omega\times(\mathbf x-\mathbf x_0)$，只要知道角速度 $\boldsymbol\omega$ 和某一个参考点 $\mathbf x_0$ 的速度 $\mathbf u_0$，整个场就确定了。twist 就是这 6 个数。区别只在于选哪个点做参考点，用哪套坐标轴读数：

机体 twist $\boldsymbol\xi_b = (\boldsymbol\omega_b,\mathbf v_b)$：参考点是机体原点，数值在机体系的坐标轴上读出。这是机载传感器天然看到的：陀螺仪给 $\boldsymbol\omega_b$，轮速给 $\mathbf v_b$。
空间 twist $\boldsymbol\xi_s = (\boldsymbol\omega_s,\mathbf v_s)$：参考点是"此刻恰好位于世界原点的那个机体点"（想象橡皮板延伸到世界原点），数值在世界系的坐标轴上读出。这是 5.6 节里 $\Exp(s\boldsymbol\xi)$ 的 $\boldsymbol\xi$。

下面先在平面上看，twist 只有三个数 $(\omega, v_x, v_y)$。机器人在世界里有位姿 $T$，正绕着某个瞬时转动中心 $C$ 以角速度 $\omega$ 转动。拖动机器人、它的朝向手柄和中心 $C$，看两种读法如何变。青色小箭头就是整个速度场。

FIG 1平面刚体：机体 twist 与空间 twist

本课的配色：角速度用紫色，线速度用琥珀色；机体量画实线，空间量画虚线。琥珀色实线箭头：机体原点的速度（图中画在世界系里，机体系的读数是它旋转 $R\T$ 之后的 $\mathbf v_b$）。琥珀色虚线箭头：位于世界原点的那个机体点的速度，也就是 $\mathbf v_s$。青色小箭头是整个速度场；它在 $C$ 处为零，紫色虚圆是机器人原点绕 $C$ 走的圆。三个手柄：机器人原点、朝向、转动中心 $C$。

试一试

把转动中心 $C$ 拖到世界原点。$\mathbf v_s$ 变成了什么？为什么？
把 $C$ 拖到机器人自己的原点（原地打转）。$\mathbf v_b = 0$，但 $\mathbf v_s$ 还是 0 吗？
保持 $C$ 和 $\omega$ 不动，把机器人拖到离出发点 2 个单位以外。$\boldsymbol\xi_b$ 和 $\boldsymbol\xi_s$ 哪一个变了？

你应该看到：$\boldsymbol\xi_s$ 只取决于"世界里的运动本身"（转动中心和角速度），和机器人此刻在哪儿无关；$\boldsymbol\xi_b$ 则取决于机器人的位姿，因为同一个运动，机器人站得不同，机体原点的速度就不同。$\boldsymbol\xi_b$ 和 $\boldsymbol\xi_s$ 之间的换算，是读数里的那个 3×3 矩阵 $\operatorname{Ad}_T$。注意它左下角的那一列 $(t_y,\,-t_x)$：这是杠杆臂，机器人离世界原点越远，两个读数差得越多。

3动手玩：同一根螺旋轴，换个坐标系

三维里也一样。在 5.6 节我们看到，每个 twist 都对应一根螺旋轴（轴线、转角、螺距）。机体 twist $\boldsymbol\xi_b$ 在机体系里描述了一根轴；把机器人放到世界里的位姿 $T$ 上，这根轴就跟着机器人一起搬到了世界里的某个位置，朝向某个方向。而空间 twist $\boldsymbol\xi_s = \operatorname{Ad}_T\boldsymbol\xi_b$ 直接在世界系里描述螺旋轴。两者描述的是同一根轴：伴随矩阵只是改了读法。

FIG 2 验证这一点。宽而半透明的紫色实线带是"把机体系里的轴用 $T$ 搬进世界"得到的轴（机体量，实线）；紫色细虚线是用 $\operatorname{Ad}_T\boldsymbol\xi_b$ 算出来的轴（空间量，虚线）。如果虚线始终落在实线带里（实线带只在两端露出头），说明 $\operatorname{Ad}_T$ 做对了。读数还会显示螺距 $h$ 和转角 $\theta$：它们在换系时不变。

FIG 2Ad_T 把螺旋轴从机体系搬到世界系

拖动画面旋转视角

机体 twist 预设

灰色线框是世界系中的起点 $T$（带坐标轴的盒子），绿色盒子是 $T\,\Exp(s\boldsymbol\xi_b)$，它和 $\Exp(s\boldsymbol\xi_s)\,T$ 是同一个位姿（读数中给出两者的差）。拖动画面旋转视角，可以从侧面检查两条轴线是否重合。配色同 FIG 1：紫色是角速度和螺旋轴，琥珀色是线速度，机体量画实线、空间量画虚线。

试一试

选"绕机体 z 轴自转"预设，把盒子移到离世界原点 1 个单位以外。机体 twist 的线速度是 0，空间 twist 的 $\mathbf v_s$ 却不是 0（$\|\mathbf v_s\| > 0.5$）。$\mathbf v_s$ 等于什么？
选"纯平移"预设。$\boldsymbol\omega = 0$ 时，$\operatorname{Ad}_T$ 对 $\mathbf v$ 做的只是旋转：$\mathbf v_s = R\mathbf v_b$。螺旋轴到哪儿去了？

4再看数学

提示：把鼠标悬停在公式中带底色的符号上，FIG 1 的箭头或 FIG 2 的轴线会被高亮。

共轭：把一个运动"搬到"另一个坐标系

设 $T=(R,\mathbf t)$，$\boldsymbol\xi^\wedge$ 是 twist 的 4×4 矩阵（5.5 节）。直接做矩阵乘法：

$$ T\,\boldsymbol\xi^\wedge\,T^{-1} = \begin{bmatrix} R\skew{\boldsymbol\omega}R\T & R\mathbf v - R\skew{\boldsymbol\omega}R\T\mathbf t \\ \mathbf 0\T & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \skew{R\boldsymbol\omega} & R\mathbf v + \mathbf t\times R\boldsymbol\omega \\ \mathbf 0\T & 0 \end{bmatrix}, $$

用到 $R\skew{\boldsymbol\omega}R\T = \skew{R\boldsymbol\omega}$（1.8 节、1.10 节）。右边仍然是一个 twist 的 hat，它的向量是 $(R\boldsymbol\omega,\ R\mathbf v + \skew{\mathbf t}R\boldsymbol\omega)$。把这个线性映射写成 6×6 矩阵，就是伴随矩阵。对矩阵指数取共轭，指数符号里面的 twist 就换成 $\operatorname{Ad}_T\boldsymbol\xi$：

$$ T\,\Exp(\boldsymbol\xi)\,T^{-1} = \Exp\big(\operatorname{Ad}_T\boldsymbol\xi\big), \qquad \operatorname{Ad}_T = \begin{bmatrix} R & 0 \\ \hl{lever}{\skew{\mathbf t}R} & R \end{bmatrix}\ \text{(order }(\boldsymbol\omega,\mathbf v)\text{)}, \qquad \operatorname{Ad}_R = R\ \text{ on }\SO. $$

对 $\SO$ 只剩旋转部分：$R\,\Exp(\boldsymbol\omega)R\T = \Exp(R\boldsymbol\omega)$，也就是 5.7 节用到的那条。直观含义：把"绕 $\boldsymbol\omega$ 转"这个动作，由 $R$ 描述的坐标系看过去，转轴变成 $R\boldsymbol\omega$。

空间 twist 与机体 twist

设机体系 $\{b\}$ 在世界系 $\{s\}$ 中的位姿 $T(t)$ 随时间变化。两种速度分别是 $\hat{\boldsymbol\xi}_b = T^{-1}\dot T$ 与 $\hat{\boldsymbol\xi}_s = \dot T T^{-1}$（取 vee 得到 6 维向量）。展开：

$$ T^{-1}\dot T = \begin{bmatrix} R\T\dot R & R\T\dot{\mathbf t} \\ 0 & 0\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ \hl{xib}{\boldsymbol\xi_b} = (\boldsymbol\omega_b,\ R\T\dot{\mathbf t}), \qquad \dot T T^{-1} = \begin{bmatrix} \dot RR\T & \dot{\mathbf t} - \dot RR\T\mathbf t \\ 0 & 0\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ \hl{xis}{\boldsymbol\xi_s} = (\boldsymbol\omega_s,\ \dot{\mathbf t} + \mathbf t\times\boldsymbol\omega_s), $$ $$ \boldsymbol\xi_s = \operatorname{Ad}_T\,\boldsymbol\xi_b, \qquad \boldsymbol\xi_b = \operatorname{Ad}_{T^{-1}}\boldsymbol\xi_s = \operatorname{Ad}_T^{-1}\boldsymbol\xi_s. $$

读法：$\mathbf v_b = R\T\dot{\mathbf t}$ 是机体原点的速度，用机体轴读；$\mathbf v_s = \dot{\mathbf t} + \mathbf t\times\boldsymbol\omega_s$ 是"位于世界原点的那个机体点"的速度（刚体速度场在 $\mathbf x = \mathbf 0$ 处取值：$\dot{\mathbf t} + \boldsymbol\omega_s\times(\mathbf 0 - \mathbf t)$），用世界轴读。两者相差的就是杠杆臂 $\mathbf t\times\boldsymbol\omega_s$。

左扰动与右扰动

共轭公式移项就是 5.7 节留下的承诺：

$$ T\,\Exp(\boldsymbol\delta_r) = \Exp(\operatorname{Ad}_T\boldsymbol\delta_r)\,T \quad\Longleftrightarrow\quad \boldsymbol\delta_l = \operatorname{Ad}_T\,\boldsymbol\delta_r, \qquad \Sigma_l = \operatorname{Ad}_T\,\Sigma_r\operatorname{Ad}_T\T. $$

最后一个式子说的是：如果右扰动的协方差是 $\Sigma_r$，换成左扰动后协方差是 $\operatorname{Ad}_T\Sigma_r\operatorname{Ad}_T\T$（5.9 节会用）。

性质与 wrench

性质	公式	含义
复合	$\operatorname{Ad}_{T_1T_2} = \operatorname{Ad}_{T_1}\operatorname{Ad}_{T_2}$	沿坐标系链一路换算
逆	$\operatorname{Ad}_T^{-1} = \operatorname{Ad}_{T^{-1}} = \begin{bmatrix}R\T & 0\\ -R\T\skew{\mathbf t} & R\T\end{bmatrix}$	反方向换算，不用求 6×6 的逆
不变量	$\\|\boldsymbol\omega\\|,\ h = \tfrac{\boldsymbol\omega\cdot\mathbf v}{\\|\boldsymbol\omega\\|^2}$	转角和螺距不随坐标系改变
wrench	$\mathbf F_b = \operatorname{Ad}_T\T\,\mathbf F_s$	力矩与力 $(\mathbf m,\mathbf f)$ 与 twist 对偶，用转置换系
无穷小形式	$\operatorname{Ad}_{\Exp(\boldsymbol\xi)} = \exp(\operatorname{ad}_{\boldsymbol\xi}),\ \operatorname{ad}_{\boldsymbol\xi} = \begin{bmatrix}\skew{\boldsymbol\omega} & 0\\ \skew{\mathbf v} & \skew{\boldsymbol\omega}\end{bmatrix}$	李括号 $[\boldsymbol\xi_1,\boldsymbol\xi_2] = \operatorname{ad}_{\boldsymbol\xi_1}\boldsymbol\xi_2$

wrench 那一行的来源是功率不变：功率 $\mathbf F\T\boldsymbol\xi$ 是标量，换系后不能变，$\mathbf F_b\T\boldsymbol\xi_b = \mathbf F_s\T\operatorname{Ad}_T\boldsymbol\xi_b$，所以 $\mathbf F_b = \operatorname{Ad}_T\T\mathbf F_s$。这里 wrench 的顺序是（力矩，力），与 twist（角速度，线速度）对应。

5机器人中的它：手眼速度与腕力传感器

场景一：视觉伺服里的"相机系指令"

手眼相机装在机械臂末端。视觉伺服律说："目标在相机系里的位置是 $\mathbf p_c$，所以相机应该以 $\mathbf v_c = k\,\mathbf p_c$ 朝目标走，同时转向它。"这是相机系里的 twist $\boldsymbol\xi_c$。机械臂控制器却要基座系里的末端速度。正确的转换是 $\boldsymbol\xi_s = \operatorname{Ad}_{T_{bc}}\boldsymbol\xi_c$，其中 $T_{bc}$ 由当前关节角和手眼标定共同给出。如果把 $\boldsymbol\xi_c$ 当成基座系里的 twist 直接执行，相机就会朝错误的方向走。

下面的平面机械臂上，相机用一个固定的手眼变换装在末端。两支琥珀色箭头与 FIG 1 同义：实线是相机（机体）原点的速度 $\mathbf v_c$，虚线是空间 twist 的 $\mathbf v_s$。绿色是"用 $\operatorname{Ad}$ 换系后执行"（即 $T_{bc}\Exp(\tau\boldsymbol\xi_c)$）预期到达的相机位姿，红色是"没换系直接当基座系 twist 执行"（$\Exp(\tau\boldsymbol\xi_c)T_{bc}$）到达的位姿；$\tau = 0.6$。

FIG 3手眼视觉伺服：相机系 twist → 基座系 twist

拖动标着"目标"的圆点。机械臂基座在原点，两节连杆，滑块调关节角。相机（小楔形）通过固定的手眼变换装在末端，朝向它自己的 $x$ 轴。读数里的距离是执行之后相机原点到目标的距离。上方读数给出相机系 twist $\boldsymbol\xi_c$ 和换系后的 $\boldsymbol\xi_s = \operatorname{Ad}_{T_{bc}}\boldsymbol\xi_c$（紫色为角速度分量，琥珀色为线速度分量）。机体（相机）量画实线，空间量画虚线。

试一试

调整关节角和目标位置，使"换系后执行"让相机更接近目标，而"没换系"让相机离目标更远。这说明直接把 $\boldsymbol\xi_c$ 当作基座系 twist 会造成什么？
把目标拖到相机原点附近（距离 < 0.15）。$\boldsymbol\xi_c$ 和 $\boldsymbol\xi_s$ 怎么了？

场景二：腕力传感器的 wrench

腕部六维力传感器报告的是传感器系里的 wrench $(\mathbf m_b,\mathbf f_b)$：作用在传感器原点上的合力矩和合力。要判断末端对世界施加了多大的力和力矩，或者做阻抗控制（Part IV），就要把它换到世界系或基座系。换系用的是 $\operatorname{Ad}$ 的转置。平面里这是一个 3×3 矩阵。关键物理：力不变，只是把"力矩的参考点"从世界原点挪到了传感器原点，改变的是杠杆臂。

FIG 4力传感器：F_b = Ad_Tᵀ F_s

琥珀色箭头是接触点 $P$ 处的力 $\mathbf f$（拖动 $P$ 会让它沿作用线滑动；拖动箭头尖改变力的大小和方向，作用线绕 $P$ 转）。紫色虚线是世界原点到作用线的杠杆臂 $d_s$（空间量，虚线），紫色实线是传感器原点到作用线的杠杆臂 $d_b$（机体量，实线）。力矩 $m = \pm d\,\|\mathbf f\|$，符号取逆时针为正。读数里 "几何直接算" 与 "$\operatorname{Ad}_T\T\mathbf F_s$" 两种算法应该相同；公式里力矩分量为紫色，力分量为琥珀色。

试一试

沿着力的作用线把 $P$ 滑动 1 个单位以上。力矩 $m_s$、$m_b$ 变了吗？为什么？
拖动传感器（或转动力的方向），让传感器原点落在力的作用线上（杠杆臂 $d_b < 0.1$，$\|\mathbf f\| > 0.5$）。传感器测到的是什么？

真实系统里

机械臂的空间雅可比的第 $i$ 列是 $\operatorname{Ad}_{e^{[S_1]\theta_1}\cdots e^{[S_{i-1}]\theta_{i-1}}}S_i$，机体雅可比与它只差一个 $\operatorname{Ad}_{T^{-1}}$（3.4 节、5.10 节）。手眼标定求出的 $T_{ec}$，每次用到相机速度或位姿误差时，都通过 $\operatorname{Ad}_{T_{ec}}$ 进入机械臂的控制回路。阻抗/导纳控制和接触估计里，力传感器的 wrench 要用 $\operatorname{Ad}^{\!\top}$ 换到工具坐标系或世界系。在状态估计器里，协方差 $\Sigma$ 在左右两种约定之间转换，用的是 $\operatorname{Ad}\,\Sigma\operatorname{Ad}\T$。

6常见误区

误区 1：只旋转 ω 和 v，忘了杠杆臂

把 twist 当成两个普通向量，各自乘 $R$，得到的是 $\operatorname{diag}(R,R)\boldsymbol\xi$，丢了 $\skew{\mathbf t}R\boldsymbol\omega$ 一项。只在 $\mathbf t = 0$（两个坐标系原点重合）或 $\boldsymbol\omega = 0$ 时才碰巧正确。症状：直线行驶（$\boldsymbol\omega = 0$）没问题，一旦转弯，哪怕是原地转，偏离原点安装的传感器的速度就会多出或少掉一个横向的 $\boldsymbol\omega\times\mathbf t$ 分量。

误区 2：Ad 的下标和方向写反

$\boldsymbol\xi_s = \operatorname{Ad}_{T_{sb}}\boldsymbol\xi_b$：用"机体在世界里的位姿"把机体 twist 换成空间 twist。反过来要用 $\operatorname{Ad}_{T_{sb}}^{-1} = \operatorname{Ad}_{T_{bs}}$。写成 $T_{sb}$ 还是 $T_{bs}$ 是最常见的符号错误；给每个变换标明"谁在谁里"，让下标像链条一样首尾相接，能避免大部分错误。

误区 3：twist 顺序与 wrench 顺序不配套

本课 $\operatorname{Ad}_T = \begin{bmatrix}R&0\\ \skew{\mathbf t}R&R\end{bmatrix}$ 对应 twist $(\boldsymbol\omega,\mathbf v)$。把平移放在前面的库，$\operatorname{Ad}$ 是 $\begin{bmatrix}R&\skew{\mathbf t}R\\ 0&R\end{bmatrix}$，块的位置对调。wrench 的顺序要跟 twist 的顺序保持一致，不然 $\mathbf F\T\boldsymbol\xi$ 就不是功率了。

误区 4：把"空间速度"当成"世界系里的末端线速度"

$\mathbf v_s$ 是"位于世界原点的那个机体点"的速度，不是机体原点的速度。机体原点在世界系里的线速度是 $\dot{\mathbf t} = \mathbf v_s + \boldsymbol\omega_s\times\mathbf t$。想要末端点的速度，要自己减去（或加上）这一项。

7小练习

1. $R\,\Exp(\boldsymbol\omega)\,R\T$ 等于？

这是 $\operatorname{Ad}_R = R$：$R\skew{\boldsymbol\omega}R\T = \skew{R\boldsymbol\omega}$，对矩阵指数取共轭就把转轴也转到新坐标系。

2. 一辆小车位于世界系 $\mathbf t = (2,0,0)$，朝向与世界系一致（$R = I$），在原地绕自己的 z 轴自转：机体 twist $\boldsymbol\xi_b = (0,0,1;\ 0,0,0)$。它的空间 twist 是？

$\mathbf v_s = R\mathbf v_b + \mathbf t\times R\boldsymbol\omega = (2,0,0)\times(0,0,1) = (0\cdot1-0\cdot0,\ 0\cdot0-2\cdot1,\ 0) = (0,-2,0)$。直观验证：世界原点在小车原点的 $-x$ 方向 2 个单位处，逆时针转动时那里的点向 $-y$ 方向运动，速度大小 $\omega\cdot2 = 2$。

3. 用 $\operatorname{Ad}_T$ 把 twist 从机体系换到空间系之后，下面哪个量保持不变？

$\boldsymbol\omega$ 被 $R$ 转了方向，$\mathbf v$ 被旋转并加了杠杆臂，轴的位置也随 $T$ 搬走了。只有"这个运动有多快、每转一弧度前进多少"这类与坐标系无关的量保持不变。

4. 一个小的右扰动 $T\,\Exp(\boldsymbol\delta_r)$ 等价于左扰动 $\Exp(\boldsymbol\delta_l)\,T$，两者的关系是？

$T\Exp(\boldsymbol\delta_r) = (T\Exp(\boldsymbol\delta_r)T^{-1})T = \Exp(\operatorname{Ad}_T\boldsymbol\delta_r)T$。选项 D 是反方向（左换右）。

5. 传感器系 $\{b\}$ 在世界系 $\{s\}$ 里的位姿是 $T$，世界系里的 wrench 是 $\mathbf F_s$。传感器应该读到什么？

功率不变：$\mathbf F_b\T\boldsymbol\xi_b = \mathbf F_s\T\boldsymbol\xi_s = \mathbf F_s\T\operatorname{Ad}_T\boldsymbol\xi_b$，所以 $\mathbf F_b = \operatorname{Ad}_T\T\mathbf F_s$。wrench 与 twist 对偶，换系用转置。选项 C 是 twist 的逆换算。

8延伸阅读

K. Lynch & F. Park, Modern Robotics, Sec. 3.3.2 & 3.4 — 空间 twist 与机体 twist、伴随表示、wrench 的换系；本课的 (ω, v) 顺序与它一致
R. Murray, Z. Li, S. Sastry, A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation, Ch. 2 — 刚体速度、伴随变换与螺旋理论的经典叙述
J. Solà, J. Deray, D. Atchuthan, "A micro Lie theory for state estimation in robotics", arXiv:1812.01537 — 伴随矩阵与左右扰动、协方差换系（平移在前）
T. Barfoot, State Estimation for Robotics, Ch. 7 — SE(3) 的伴随以及不确定性的变换

性质	公式	含义
复合	\(\operatorname{Ad}_{T_1T_2} = \operatorname{Ad}_{T_1}\operatorname{Ad}_{T_2}\)	沿坐标系链一路换算
逆	\(\operatorname{Ad}_T^{-1} = \operatorname{Ad}_{T^{-1}} = \begin{bmatrix}R\T & 0\\ -R\T\skew{\mathbf t} & R\T\end{bmatrix}\)	反方向换算，不用求 6×6 的逆
不变量	\(\\|\boldsymbol\omega\\|,\ h = \tfrac{\boldsymbol\omega\cdot\mathbf v}{\\|\boldsymbol\omega\\|^2}\)	转角和螺距不随坐标系改变
wrench	\(\mathbf F_b = \operatorname{Ad}_T\T\,\mathbf F_s\)	力矩与力 \((\mathbf m,\mathbf f)\) 与 twist 对偶，用转置换系
无穷小形式	\(\operatorname{Ad}_{\Exp(\boldsymbol\xi)} = \exp(\operatorname{ad}_{\boldsymbol\xi}),\ \operatorname{ad}_{\boldsymbol\xi} = \begin{bmatrix}\skew{\boldsymbol\omega} & 0\\ \skew{\mathbf v} & \skew{\boldsymbol\omega}\end{bmatrix}\)	李括号 \([\boldsymbol\xi_1,\boldsymbol\xi_2] = \operatorname{ad}_{\boldsymbol\xi_1}\boldsymbol\xi_2\)