Part II · 第 8 章动力学 · 8.4

接触与摩擦

走路、抓取、推、拧、插：机器人真正“做事”的时刻几乎都发生在接触里。接触力有三个怪脾气：地面只能推、不能拉（单边）；摩擦有上限，超过 $\mu$ 乘法向力就打滑（摩擦锥，半角 $\arctan\mu$）；力可以在一瞬间出现或消失（非光滑，互补条件）。这一节从斜面上的方块出发，造出摩擦锥，再看三维锥为什么在求解器里变成金字塔，惩罚法与冲量法为什么在刚度与步长上互相拉扯，最后让一根手指在关节力矩上限与摩擦锥的双重约束下压桌子。

约 35 分钟前置：2.5 常微分方程 · 6.7 约束优化 · 6.8 LP 与 QP · 8.1 拉格朗日动力学 · 7.6 静力学与 wrench 5 个交互

1为什么机器人需要它

在自由空间里挥舞手臂，反而是机器人的例外。脚踩地面才能走路，手指夹住物体才能抓取，推箱子、拧螺丝、插接头、擦桌子，都是靠接触把力传给世界。接触也是仿真与真实机器人之间差距的主要来源：同样的动力学方程（8.1、8.3 节的 $M\ddot{\mathbf q}+\mathbf b=\boldsymbol\tau$ 加上接触项）$M\ddot{\mathbf q}+\mathbf b=\boldsymbol\tau+J_c^\top\mathbf f$，自由运动时误差很小，一旦出现接触，$\mathbf f$ 这一项就成了最难算准的部分。接触力有三个特点：

单边：地面只能推机器人，不能拉它。法向力 $\lambda_n\ge 0$。所有“拉不住”的现象（脚离地、手指松开）都从这里来。
有上限：切向的摩擦力不超过 $\mu$ 倍的法向力，$\|\mathbf f_t\|\le\mu f_n$；超过就打滑。它在力空间里画出一个摩擦锥，腿式机器人的足底力、抓取的接触力都必须待在锥里。
非光滑：碰撞瞬间速度突变，力在零与正值之间“开关”，黏着变成滑动。力不是状态的光滑函数，所以光滑的 ODE（2.5 节）、梯度（3.2 节）这些工具在这里需要小心使用。

这一节把这三件事一件件拆开：先用斜面上的方块建立摩擦锥的直觉，再把锥放进三维与求解器，然后看“互补”条件和两种常见的接触模型（惩罚法、冲量法），最后用机械臂压桌子的例子把接触与 7.6 节的静力学接起来。

2直觉：斜面上的方块什么时候开始滑

把一块方块放在木板上，慢慢抬高木板。方块在某个角度突然开始下滑。是什么决定了这个角度？先把力画出来：重力 $m\mathbf g$ 竖直向下，把它分解到木板的法向和切向：法向分量 $mg\cos\alpha$ 压住木板，切向分量 $mg\sin\alpha$ 想把方块拉下去。木板用法向力 $N$ 顶住前者，用摩擦力 $f$ 顶住后者。库仑的经验定律说：只要不打滑，摩擦力可以是任何大小，直到上限 $\mu_s N$：

$$ N = mg\cos\alpha,\qquad |f| = mg\sin\alpha \;\le\; \mu_s N = \mu_s\, mg\cos\alpha \;\;\Longleftrightarrow\;\; \tan\alpha \le \mu_s. $$

质量 $m$ 两边约掉了：临界角 $\alpha_{\text{crit}}=\arctan\mu_s$ 只与材料有关，与方块多重无关。下面的图让你自己试。方块受三种力：重力、法向力 $N$（蓝）、摩擦力 $f$（红）；法向力与摩擦力合起来是木板对方块的接触力 $\mathbf R$（紫）。围绕法线的青色扇形就是摩擦锥，半角是 $\arctan\mu_s$。只要接触力 $\mathbf R$ 落在锥里，方块就黏着不动；要它落到锥外，木板就给不出这个力，方块便开始打滑。拖动倾角，看紫色箭头如何一点点倒向锥的边界。你也可以用滑块再加一个推力：往斜面里压会让方块更稳，往外拉则会让它离开斜面。

FIG 1斜面上的方块：黏着、打滑、离开

箭头长度与 $mg$ 的倍数成正比（重力箭头始终一样长），所以质量滑块只改变读数里的牛顿数，不改变画面。推力 $F$（琥珀色）以重量的倍数给出，$\beta=0$ 是沿斜面向上推，$\beta>0$ 向外拉离表面，$\beta<0$ 向里压。青色扇形是半角 $\arctan\mu_s$ 的摩擦锥；打滑时摩擦力只有 $\mu_k N$，紫色箭头在锥内、偏离边界。模型：质点，不会翻倒（真实的高而窄的方块可能先翻倒再滑）；动静摩擦系数取 $\mu_k\le\mu_s$。

试一试

不加推力，把倾角调到刚好超过 $\arctan\mu_s$（在 1.5° 之内）：方块刚好开始下滑。临界角读数与你的发现吻合吗？
让倾角明显超过临界角（$\tan\alpha>\mu_s$ 且多出 3° 以上，方块本来会滑），再沿法线向里压（$\beta<0$），让它重新黏住。为什么变稳了？
向外拉（$\beta>0$）直到法向力降到 0，方块离开斜面。此时还有摩擦力吗？

核心洞见

接触面能提供的力，不是一个数，而是一个集合：以法线为轴、半角为 $\arctan\mu$ 的锥。静止的物体需要接触面提供“刚好够”的力；这个需求落在锥里就黏着，落在锥外就打滑。斜面的临界角 $\arctan\mu$ 就是锥的半角：重力的反方向恰好擦着锥的边。

3动手玩：拖动接触力，看摩擦锥

把斜面拿掉，只留一个接触点：地面在下，法线 $\hat{\mathbf n}$ 朝上。琥珀色手柄是接触点必须提供的力 $\mathbf f=(f_t,f_n)$，也就是让物体保持不动、其余所有外力的相反数。你来拖，接触面来回答：

$f_n<0$：接触面必须拉物体，办不到，物体会分离（离地）。
$f_n>0$ 且 $|f_t|\le\mu f_n$：力在锥内，接触黏着，摩擦力等于需求。
$f_n>0$ 且 $|f_t|>\mu f_n$：力在锥外，接触打滑。接触面只能给出锥边界上的力 $(\pm\mu f_n,\,f_n)$，差额（红色箭头）成为不平衡力，推着物体滑动。

注意锥的半角是 $\arctan\mu$，不是 $\mu$：$\mu=1$ 对应 45°，$\mu=0.5$ 对应 26.6°，$\mu$ 大于 1 也完全合理（橡胶对粗糙地面），锥只是更宽，但半角始终小于 90°。

FIG 2二维摩擦锥：黏着、打滑、分离

拖动琥珀色手柄（1 N 对应 1 个单位长度）。青色扇形是摩擦锥 $\{\mathbf f: f_n\ge0,\ |f_t|\le\mu f_n\}$，虚线是它的边界，半角 $\gamma=\arctan\mu$ 标在弧上。蓝、红虚线是 $\mathbf f$ 的法向、切向分量。打滑时，绿色箭头是接触面真正给出的力，红色箭头是剩下的不平衡切向力。地面以下的红色区域表示“接触面必须拉”。

依次让接触处于黏着、打滑、分离三种状态。
把 $\mu$ 调到 1.5 以上，让力偏离法线超过 50° 仍然黏着。半角是 $1.5$ 弧度吗？

摩擦角

把接触力与法线的夹角记为 $\psi=\arctan(|f_t|/f_n)$，摩擦锥的半角叫摩擦角 $\gamma=\arctan\mu$。“黏着”等价于 $\psi\le\gamma$。这个说法把摩擦的大小之比（$|f_t|/f_n\le\mu$）换成了一个角度的比较：接触力的方向只要不偏离法线太多，接触就是稳的。足式机器人的“防滑”、抓取的“握力够不够”，都是这个角度的比较。

4第二、第三视角：三维金字塔与非光滑的接触

三维：圆锥与求解器里的金字塔

三维接触点有两个切向方向，摩擦锥是圆锥 $\|\mathbf f_t\|\le\mu f_n$，$\mathbf f_t\in\mathbb R^2$。圆锥是二阶锥，不能直接放进线性互补问题（LCP）或线性规划（6.8 节）。常见做法是用一个有 $k$ 条棱的多面体金字塔去逼近它，使摩擦约束变成线性不等式：$\mathbf f_t=\sum_i\beta_i\mathbf d_i$，$\beta_i\ge0$，$\sum_i\beta_i\le\mu f_n$，其中 $\mathbf d_i$ 是 $k$ 个单位切向方向。有两种逼近：

内接（紫色，棱在锥面上）：金字塔在圆锥里面，是保守的。能证明防滑的力，真实情况下一定不滑；但它低估了摩擦。
外切（琥珀色，面与锥相切）：金字塔包住圆锥，是乐观的。$k=4$ 时就是熟悉的方盒 $|f_x|\le\mu f_n,\ |f_y|\le\mu f_n$，沿对角线方向多给了 $\sqrt2-1\approx41\%$ 的摩擦。

以 $f_n=1$ 的截面看，圆的半径是 $\mu$；正 $k$ 边形内接时，最短的半径是 $\mu\cos(\pi/k)$，外切时最长的半径是 $\mu/\cos(\pi/k)$。所以最坏误差分别是 $1-\cos(\pi/k)$ 与 $1/\cos(\pi/k)-1$。拖动 $k$，看误差怎样随棱数迅速缩小。

FIG 3三维摩擦锥与 $k$ 棱金字塔

拖动画面旋转视角

法线沿 $z$（蓝），两个切向沿 $x,y$。青色圆是 $f_n=1$ 处的真实锥截面，紫色是内接的 $k$ 棱金字塔，琥珀色是外切的。滑块 $\varphi$ 在切平面内选一个方向（虚线射线）：三个标记点分别是真实锥、内接、外切在这个方向上允许的最大切向力（以 $f_n$ 为单位）。读数里的“数值最大误差”是对 7200 个方向取样得到的，应与闭式 $1-\cos(\pi/k)$ 一致。

找出让两种逼近的最坏误差都低于 5% 的最小棱数 $k$。

非光滑：接触力是“开关”，不是弹簧

现在看法向。小球落到地上，间隙 $\phi\ge0$（球离地面的距离），法向力 $\lambda\ge0$。要么分离（$\phi>0,\ \lambda=0$），要么接触（$\phi=0,\ \lambda\ge0$），两者不会同时为正，写成互补条件：

$$ 0\;\le\;\lambda\;\perp\;\phi\;\ge\;0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \lambda\ge0,\quad \phi\ge0,\quad \lambda\,\phi=0. $$

在 $(\phi,\lambda)$ 平面上，它是一条直角折线：沿 $\phi$ 轴（没接触，力为零）和沿 $\lambda$ 轴（接触，力任意）。折线在拐角处不可导，而且 $\lambda$ 不是 $\phi$ 的函数（$\phi=0$ 时 $\lambda$ 可以是任意正数）。这就是“刚体接触”的数学含义。要在计算机里处理它，常见有两条路。惩罚法：允许穿透 $\delta=\max(0,-\phi)$，用弹簧-阻尼 $\lambda=k\delta+c\dot\delta$ 把折线“压弯”成一条陡峭的斜线，简单，但 $k$ 越大系统越硬，显式积分的步长就必须越小。冲量法：不模拟接触期间的力，在碰撞时刻直接把法向速度改成 $\dot\phi^+=-e\dot\phi^-$（$e$ 是恢复系数），并把物体放回接触面上，步长不受刚度限制，但要处理一连串的碰撞事件（弹跳次数无穷多，有限时间内停下，叫 Zeno 现象）。

下图让你同时看这两个模型。左边是小球的高度（上）和穿透深度（下，毫米）；右边是互补折线，圆点是模拟中每一步的 $(\phi,\lambda)$。

FIG 4小球落地：惩罚法 vs 冲量法

高度 h(t) 与穿透 δ(t)

互补折线：λ (N) 对 φ (mm)

质量 1 kg，从 1 m 高处静止释放，$g=9.81$ m/s²。惩罚法：半隐式（辛）欧拉，$\lambda=\max(0,\,k\delta-c\dot x)$，$c=2\zeta\sqrt{km}$，$\zeta$ 是阻尼比。冲量法：每步先自由落体，若穿过地面，就令速度反向并乘 $e$，位置也按同样比例反射，几乎静止时直接停住。右图的绿色折线是理想的刚性接触，紫色虚线是惩罚法的斜线 $\lambda=k\delta$，圆点是模拟的实际取值（冲量法里是该步的平均力：冲量除以步长）。

用惩罚法，把步长调大，让模拟炸掉：小球弹得比起始高度还高（能量凭空增加）。读数里的 $\omega\,\Delta t$ 是多少时开始发生？
仍用惩罚法，在保持稳定（$\omega\Delta t<0.5$）的前提下，让最大穿透小于 2 mm。代价是什么？（看 $k$ 与步数。）
切换到冲量法，把恢复系数 $e$ 调到 0.8 以上：小球弹跳无穷多次，却在有限时间内停住。读数里预测的静止时刻与模拟吻合吗？

一个想法，三个视角

几何：接触力活在一个锥里，$\mathbf f\in K_\mu$（FIG 1–3）。互补：每个接触在“分离/黏着/滑动”几种模式里选一种，力与间隙（或滑动速度）满足 $0\le a\perp b\ge0$（FIG 4）。优化：这些条件正是某个凸优化问题的 KKT 条件（6.7 节），锥是它的可行集，$\lambda$ 是拉格朗日乘子。三个视角说的是同一件事，不同的接触模型和求解器，只是选了其中一条路来算。

5再看数学

提示：把鼠标悬停在公式中带底色的符号上，FIG 2 中对应的元素会被高亮。

库仑摩擦与摩擦锥

设接触点的法线 $\hat{\mathbf n}$ 从表面指向物体，接触力分解为 $\mathbf f=f_n\hat{\mathbf n}+\mathbf f_t$（作用在物体上）。库仑定律（Amontons–Coulomb）有两种情形，$\mathbf v_t$ 是接触点的相对切向速度：

$$ \begin{cases} \mathbf v_t=\mathbf 0: & \hl{ft}{\|\mathbf f_t\|}\;\le\;\hl{mu}{\mu_s}\,\hl{fn}{f_n}\quad(\text{stick}),\\[4pt] \mathbf v_t\ne\mathbf 0: & \mathbf f_t=-\mu_k\,f_n\,\dfrac{\mathbf v_t}{\|\mathbf v_t\|}\quad(\text{slip}),\end{cases}\qquad f_n\ge 0 . $$

滑动时摩擦力大小为 $\mu_k f_n$，与速度大小无关，方向与滑动方向相反。一般 $\mu_k\le\mu_s$；仿真器常常取 $\mu_k=\mu_s=\mu$，下面都这样写。黏着时的摩擦力是未知数，由其他力决定，只受不等式约束。两条合起来是一个集值关系 $\mathbf f_t\in-\mu f_n\,\mathrm{Sgn}(\mathbf v_t)$，在 $\mathbf v_t=\mathbf 0$ 处 $\mathrm{Sgn}$ 取整个单位球。摩擦锥就是黏着条件的集合：

$$ K_\mu=\big\{\mathbf f=(\mathbf f_t,f_n):\ f_n\ge 0,\ \hl{ft}{\|\mathbf f_t\|}\le\mu\,\hl{fn}{f_n}\big\},\qquad \hl{cone}{\gamma=\arctan\mu}\ \ (\text{half-angle}). $$

在三维中 $\mathbf f_t\in\mathbb R^2$，$K_\mu$ 是二阶锥（Lorentz 锥的缩放），是凸锥。回到斜面：物体静止要求 $mg\sin\alpha\le\mu\,mg\cos\alpha$，即 $\alpha\le\gamma$。带推力 $F$（FIG 1）时，只要把法向与切向的平衡改写，黏着条件就是 $|F\cos\beta-mg\sin\alpha|\le\mu\,(mg\cos\alpha-F\sin\beta)$，且 $mg\cos\alpha-F\sin\beta>0$（否则离开表面）。

单边约束、互补与刚体接触的动力学

设 $\phi(\mathbf q)$ 是第 $c$ 个接触的间隙函数（有符号距离），$J_n=\partial\phi/\partial\mathbf q$ 是法向的接触雅可比。接触点速度与关节速度的关系是 $\mathbf v_c=J_c\dot{\mathbf q}$（3.4 节雅可比的同一个思想，只是这里取的是接触点），$J_c=[J_n;\,J_t]$。把接触力当成未知的“约束力”加进 8.1 节的方程，得到接触隐式的操作臂方程：

$$ M(\mathbf q)\ddot{\mathbf q}+\mathbf b(\mathbf q,\dot{\mathbf q})=S\boldsymbol\tau+\sum_c J_c(\mathbf q)^\top\boldsymbol\lambda_c,\qquad \boldsymbol\lambda_c=(\lambda_{t},\lambda_{n})\in K_\mu,\quad 0\le\lambda_{n}\perp\phi_c(\mathbf q)\ge0. $$

$\mathbf b=C\dot{\mathbf q}+\mathbf g$ 是 8.3 节的偏置项，$S$ 是驱动选择矩阵（浮动基机器人只有部分自由度有电机）。互补条件正是约束优化 $\min\,\text{能量}\ \text{s.t.}\ \phi(\mathbf q)\ge0$ 的 KKT 条件（6.7 节）：$\lambda_n$ 是不等式约束的乘子，$\lambda_n\phi=0$ 是互补松弛。未知数是 $\ddot{\mathbf q}$ 与所有 $\boldsymbol\lambda_c$，方程里有不等式，所以每一步要解的不是线性方程组，而是一个互补问题。碰撞（$\phi=0$ 且 $\dot\phi<0$）还要加一条速度跳变的规律，牛顿恢复律 $\dot\phi^+=-e\,\dot\phi^-$。

时间步进的 LCP（Stewart–Trinkle）

处理碰撞有两条路。事件驱动：用 ODE 积分到碰撞或模式切换的时刻，在那里处理跳变，再继续；精确，但事件很多（Zeno、多点接触）时会卡死。时间步进（Moreau；Stewart–Trinkle 1996）：不找事件，每个小步 $\Delta t$ 在速度层面解一次互补问题，把冲量 $\mathbf c=\Delta t\,\boldsymbol\lambda$ 当未知数。取摩擦锥的 $k$ 棱金字塔，$J_d$ 的每一行是接触点速度沿第 $i$ 个切向 $\mathbf d_i$ 的分量，$\boldsymbol\beta\ge0$ 是各棱上的冲量，$\sigma\ge0$ 是滑动速度：

$$ \begin{aligned} &M(\mathbf v^{+}-\mathbf v)=\Delta t\big(S\boldsymbol\tau-\mathbf b\big)+J_n^\top c_n+J_d^\top\boldsymbol\beta,\qquad \mathbf q^{+}=\mathbf q+\Delta t\,\mathbf v^{+},\\ &0\le c_n\ \perp\ \tfrac1{\Delta t}\phi(\mathbf q)+J_n\mathbf v^{+}\ \ge 0,\\ &0\le\boldsymbol\beta\ \perp\ \sigma\mathbf 1+J_d\mathbf v^{+}\ \ge 0,\\ &0\le\sigma\ \perp\ \mu c_n-\mathbf 1^\top\boldsymbol\beta\ \ge 0 . \end{aligned} $$

第二行是线性化的不穿透条件；第三、四行是“最大耗散原理”：摩擦冲量在满足 $\mathbf 1^\top\boldsymbol\beta\le\mu c_n$ 的前提下，尽量减慢接触点的滑动，滑动速度 $\sigma$ 只在锥的边界上才可以不为 0。消去 $\mathbf v^{+}$ 后，这是一个标准的线性互补问题（LCP）。Stewart 与 Trinkle 提出了这类格式；Anitescu 与 Potra（1997）给出了一个与之密切相关的写法，并证明在金字塔摩擦下它总有解（Lemke 算法能求出），这对仿真器的鲁棒性至关重要。该问题的另一种写法是二次规划（QP）：把乘子视为变量，在锥的约束下最小化“能量”，这就是 MuJoCo 等求解器所用的凸形式。

软接触：惩罚法的稳定性与 MuJoCo 的凸模型

惩罚法把接触当成一个很硬的弹簧-阻尼：质量 $m$ 的小球，$m\ddot x=-mg+k\delta+c\dot\delta$（接触期间）。这是一个二阶线性系统，固有频率 $\omega=\sqrt{k/m}$，阻尼比 $\zeta=c/(2\sqrt{km})$。后面三个结论都能在 FIG 4 里验证：

$$ \underbrace{\delta_{\max}\approx\frac{v_0}{\omega}}_{\text{penetration (lightly damped)}},\qquad \underbrace{e=\exp\!\Big(\!-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\Big)}_{\text{effective restitution}},\qquad \underbrace{\omega\,\Delta t<2}_{\text{semi-implicit Euler stability}} . $$

要让穿透小，必须让 $k$ 大；$k$ 大则 $\omega$ 大，显式积分的步长上限 $\Delta t<2/\omega=2\sqrt{m/k}$ 就小：刚度每增大 100 倍，步长要缩小 10 倍，计算量涨 10 倍。刚度与步长就这样互相拉扯。MuJoCo 走了另一条路（Todorov 2014）：每一步把接触力作为凸优化问题的解，在摩擦锥约束下最小化一个带正则化的二次代价（衡量约束空间加速度偏离参考值的程度），正则化让约束有一定柔软度（solref/solimp 调节），同时保证解唯一、可微分求逆。它既不是严格的刚性接触，也不是传统的惩罚法：没有一个必须用极小步长去积分的僵硬 ODE。

模型失效的地方：Painlevé 佯谬

刚体加库仑摩擦并不总是自洽。1895 年 Painlevé 指出：一根细杆在粗糙表面上滑动，当 $\mu$ 足够大、杆与表面夹角足够小时，加速度层面的方程可能无解（相容性被破坏）或有多解（不确定性）：摩擦力通过转动耦合，使维持接触所需的法向力变成负值或无界，物体似乎要自己跳起来。时间步进的冲量格式总有解（上面的 Anitescu–Potra），但解的物理含义取决于冲击是否被允许。实践中这意味着：高摩擦系数、细长物体、近乎平行的接触，是仿真行为最不可信的地方。

6机器人中的它：手指压桌子，锥与力矩上限的交集

一个两连杆的机械臂用指尖压在桌面上。接触点就是指尖，接触雅可比 $J_c$ 就是指尖位置的雅可比（3.4 节的 $J$）。桌子对指尖的力 $\mathbf f_c=(f_t,f_n)$ 必须同时满足两个条件：

接触允许：$f_n\ge0$ 且 $|f_t|\le\mu f_n$，即落在摩擦锥里（FIG 2）。
电机做得到：缓慢（准静态）并且重力已补偿时，8.3 节的方程加上接触项 $M\ddot{\mathbf q}+\mathbf b=\boldsymbol\tau+J_c^\top\mathbf f_c$ 退化成 $\mathbf 0=\boldsymbol\tau+J_c^\top\mathbf f_c$，所以电机力矩是 $\boldsymbol\tau=-J_c^\top\mathbf f_c$（手指对桌子的力是 $\mathbf F=-\mathbf f_c$，就是 3.4 节的 $\boldsymbol\tau=J^\top\mathbf F$）。每个关节要满足 $|\tau_i|\le\tau_{\max}$。

两个条件都是 $\mathbf f_c$ 的线性不等式，所以可行的接触力是一个凸多边形：锥与力矩上限形成的平行四边形的交集。右图画的就是这个力空间。手指能用多大的力压桌子，就是在这个多边形上求 $\max f_n$，这是一个线性规划（6.8 节），解在多边形的顶点上。拖动指尖的位置、切换肘的方向，看这个多边形怎样随姿态变化：当前臂的最后一节对准了力的方向时，肘关节几乎不用出力，同样的力矩就能压得更重。

FIG 5指尖压桌面：摩擦锥 ∩ 关节力矩上限

机械臂：拖动指尖或力箭头

力空间 (f_t, f_n)，单位 N

左：臂的两个关节红（肩）、绿（肘），指尖在桌面上，琥珀色箭头是桌子对指尖的力 $\mathbf f_c$（1 N 画 0.12 个单位长度），可以拖动箭头头部。右：同一个 $\mathbf f_c$ 在力空间里的位置（可拖动）。青色扇形是摩擦锥；红色、绿色虚线分别是 $|\tau_1|=\tau_{\max}$ 与 $|\tau_2|=\tau_{\max}$，两对平行线夹出的条带就是该关节“出得了”的力；绿色多边形是所有条件的交集，圆点标出 $\max f_n$ 的顶点。模型假设：准静态、重力已补偿、点接触、桌面刚性、两关节力矩上限相同。

把 $\mathbf f_c$ 拖出摩擦锥（保持 $f_n>0.5$ N）：这时是桌面“给不出”这个力，与电机无关。
让 $\mathbf f_c$ 留在锥里，却因为电机力矩不够而不可行：状态读数应显示哪一个关节超限。
调整指尖位置与肘的方向，让“竖直向下压”的能力超过 2 N 每 N·m 力矩（读数“每 N·m 能压的力”）。提示：让小臂（第二节）接近竖直。

真实系统里

足式机器人（9.2 节）：每只脚的地面反力必须在摩擦锥内，且法向力非负；全身控制器把它写成 QP 里的约束，$\mu$ 取比真实值小的“安全”值。人在平地上行走所需的摩擦系数大约只有 0.2。抓取与灵巧手（9.3 节）：每个接触点一个锥，力封闭就是“这些锥里的力能平衡任意外力矩”；多指抓取的力分配也是 LP/QP。推、插、拧：用接触约束做规划，把“接触模式的切换”当作离散变量（接触隐式轨迹优化）。触觉传感：GelSight 一类传感器可以估计法向与切向力，监视 $|f_t|/f_n$ 是否逼近 $\mu$，在滑脱之前加大握力。仿真到真实（Part VI）：摩擦系数是最常被随机化的物理参数之一，因为 $\mu$ 取决于表面材质、污染和速度，很难精确测量。

友情提示：典型的摩擦系数

下面是教科书里常见的量级，干燥、洁净的表面。同一对材料的实际值随表面粗糙度、污染、湿度、压力和滑动速度变化，可以相差 2 倍以上，使用前应当实测。$\mu$ 描述的是一对表面，而不是某一个物体。

表面对	静摩擦系数 $\mu_s$ 的大致范围
橡胶对干燥混凝土/沥青	0.6 – 1.0 (轮胎可超过 1)
硅胶/弹性体指垫对光滑塑料、玻璃	0.7 – 1.5+ （随压力和接触面积变化）
钢对钢（干）	0.5 – 0.8
钢对钢（润滑）	0.05 – 0.15
木对木	0.25 – 0.5
聚四氟乙烯（PTFE）对钢	0.04 – 0.1
冰对冰/钢	0.03 – 0.15

主流仿真器怎么处理接触

不同仿真器对同一个场景给出的结果可能明显不同（Erez 等，2015）。下表是各自的主要思路，版本之间细节会变，使用时请查对应文档。

仿真器	接触模型与摩擦锥
MuJoCo / MJX	软的凸优化接触（Todorov 2014）；摩擦锥默认为金字塔，可选椭圆锥；`solref`/`solimp` 调节软度；`condim` 选择是否含扭转与滚动摩擦（默认摩擦参数 1, 0.005, 0.0001）。
Bullet / PyBullet	刚体接触，顺序冲量（投影 Gauss–Seidel 型 LCP 迭代）；摩擦沿两个切向，各自以法向冲量乘 $\mu$ 为界。
PhysX / Isaac Sim / Isaac Gym	GPU 上的迭代求解器（PGS/TGS），两种材料的摩擦系数按规则合并；高度并行，适合强化学习大批量仿真。
Drake	柔顺接触（点接触或水弹性接触）加凸的时间步进求解器；摩擦用“黏着容差”正则化。
ODE	LCP 型求解器；摩擦沿两个切向分别限幅，具体是固定的力上限还是按法向力缩放的方盒金字塔，取决于接触标志，请查所用版本的文档。

7常见误区

误区 1：摩擦力总是 $\mu N$，静摩擦与动摩擦混为一谈

$\mu_s N$ 只是静摩擦的上限。黏着时摩擦力是“刚好够用”的那个值（FIG 1 里平放时摩擦力是 0，抬到 20° 才是 $mg\sin20^\circ$），可以远小于上限。只有真的在滑动时，摩擦才等于 $\mu_k N$，而且 $\mu_k$ 通常略小于 $\mu_s$，所以一旦滑起来，方块还会加速。如果你的控制器假定“摩擦力 = $\mu N$”去做前馈，就会在静止的物体上凭空算出一个力。

误区 2：法向力可以是负的，摩擦力可以“拉”住物体

摩擦力是切向的，它不能提供让物体靠近表面的力；法向力 $\lambda_n\ge0$。FIG 2 里手柄拖到地面以下，接触就分离了：锥只有一个朝上的半边。QP 里如果忘了写 $f_n\ge0$，求出来的接触力可能会“吸住”地面。真实世界也有例外：吸盘、壁虎式干黏附、静电吸附和磁力，它们在法向上有一个额外的吸力，不再属于普通的库仑接触。

误区 3：库仑摩擦等于粘性摩擦

粘性摩擦 $f=-bv$ 是光滑的，速度越大摩擦越大，速度为零时摩擦为零，直接塞进 ODE 就行。库仑摩擦的大小与速度无关，且在 $v=0$ 处是集值的（FIG 2 里的整段锥）。为了让 ODE 求解器接受它，常见做法是用 $\tanh(v/v_s)$ 之类的光滑函数代替符号函数，但这样机器人在“应该黏着”的时候会缓慢蠕滑（creep），并且 $v_s$ 越小系统越僵硬。真实表面的摩擦还会随速度变化（Stribeck 效应）和随接触时间变化，库仑定律只是一个有用的近似。

误区 4：把接触当作光滑函数去求梯度

刚性接触的力是状态的非光滑（甚至不连续、集值）函数：物体没碰到地面时，对接触位置的梯度处处为零；碰到的那一瞬间力从 0 跳到很大。把仿真器当作可微函数、直接对轨迹或策略求梯度，得到的梯度要么是 0（看不到将要发生的接触），要么极大、方差很大（Suh 等 2022）。常见的补救办法是平滑接触（软化互补条件）、改用不依赖梯度的采样优化（6.11 节）、或者把接触模式当作离散变量一起优化。选哪一种取决于任务，没有免费午餐。

误区 5：硬接触配大步长，忽略滚动与扭转摩擦

FIG 4 显示，惩罚接触的刚度和步长必须配套：$\omega\Delta t\ge2$ 时能量凭空增长，仿真爆炸；即使没爆炸，大步长也会让接触力在 $\omega\Delta t\sim1$ 附近抖动、看起来“能用”但已经失真。降低刚度会允许更大的穿透，物体“陷进”地面。另外，点接触的库仑模型只有切向的滑动摩擦。真实的接触面还有扭转摩擦（绕法线转）与滚动摩擦（球、轮子滚动时的阻力），忽略它们会让物体在地面上永远转下去或滚下去，MuJoCo 的默认摩擦参数里就有这两项（0.005 和 0.0001）。

8小练习

1. 橡胶块放在木板上，$\mu_s=0.8$。慢慢抬高木板，方块刚好开始滑动时，倾角约为多少？如果换成质量是它 10 倍的橡胶块呢？

黏着条件 $mg\sin\alpha\le\mu_s\,mg\cos\alpha$ 两边约掉 $mg$，得到 $\tan\alpha\le\mu_s$，临界角 $\arctan\mu_s=\arctan0.8\approx38.7^\circ$（摩擦锥的半角），与质量无关。常见的错误是把 $\mu$ 当成弧度，或者以为重的物体更容易滑（它的下滑力和摩擦上限都大了 10 倍）。

2. 物体压在桌面上，法向力 $f_n=4$ N，$\mu=0.5$。现在水平拉它，需要接触面提供的切向力是 3 N（即你拉的力）。桌面实际给出的摩擦力是多少？

需求比值 $3/4=0.75>\mu=0.5$，力在锥外，接触打滑。摩擦力封顶于 $\mu f_n=2$ N（取 $\mu_k=\mu$），差额 $3-2=1$ N 是不平衡力，物体以 $a=(1\ \text{N})/m$ 加速。这正是 FIG 2 里的绿色（实际给出的）与红色（不平衡）箭头。

3. 某些引擎把三维摩擦写成“两个切向各自受限”：$|f_x|\le\mu f_n,\ |f_y|\le\mu f_n$。与真实圆锥相比，在最坏方向上它允许的切向力多多少？

这个盒子是 $k=4$ 的外切金字塔：对角线方向允许 $(\mu f_n,\mu f_n)$，大小 $\sqrt2\mu f_n$，比圆锥的 $\mu f_n$ 多 $\sqrt2-1\approx41\%$。公式 $1/\cos(\pi/k)-1$ 在 $k=4$ 时给出同样的数。内接的菱形则少 $1-\cos(\pi/4)\approx29\%$。增加棱数才能缩小误差，$k=8$ 约 8%，$k=16$ 约 2%。

4. 用半隐式欧拉模拟 1 kg 小球落在刚度 $k=10^6$ N/m 的惩罚接触上。要保持稳定，步长最大约是多少？

$\omega=\sqrt{k/m}=1000$ rad/s，稳定要求 $\omega\Delta t<2$，即 $\Delta t<2$ ms。刚度再增加 100 倍，步长上限降到 0.2 ms。半隐式（辛）欧拉对未阻尼的振子只是条件稳定的，超过这个界，能量指数增长，就是 FIG 4 里“炸掉”的小球。而且 2 ms 只是稳定的上限，想要接触力不失真，实际要比它再小几倍。

5. 对于 $0\le\lambda\perp\phi\ge0$（$\phi$ 是间隙，$\lambda$ 是法向力），下面哪种状态不被允许？

互补条件要求 $\lambda\ge0$、$\phi\ge0$ 且 $\lambda\phi=0$，两者至少有一个为零。隔着 3 mm 空隙却有 5 N 的法向力，$\lambda\phi=15$ N·mm$\ne0$，既不是接触也不是分离，被禁止。相反，穿透（$\phi<0$）也被禁止：这是刚性接触与惩罚法的差别，后者允许 $\phi<0$ 并用 $\lambda=k\delta$ 去“惩罚”。

9延伸阅读

K. Lynch & F. Park, Modern Robotics, Ch. 12 — 抓取与操作：接触运动学、接触力与摩擦锥、力封闭
M. T. Mason, Mechanics of Robotic Manipulation, MIT Press, 2001 — 推、抓取与摩擦力学的经典教材，包含平面推动与极限曲面
D. E. Stewart & J. C. Trinkle, “An implicit time-stepping scheme for rigid body dynamics with inelastic collisions and Coulomb friction”, Int. J. Numerical Methods in Engineering 39(15), 1996 — 时间步进 LCP 的原始论文
M. Anitescu & F. A. Potra, “Formulating dynamic multi-rigid-body contact problems with friction as solvable linear complementarity problems”, Nonlinear Dynamics 14, 1997 — 带金字塔摩擦的 LCP 总有解
D. E. Stewart, “Rigid-body dynamics with friction and impact”, SIAM Review 42(1), 2000 — 综述：Painlevé 佯谬、事件驱动与时间步进
E. Todorov, “Convex and analytically-invertible dynamics with contacts and constraints: Theory and implementation in MuJoCo”, ICRA 2014 — MuJoCo 软接触模型的理论基础
T. Erez, Y. Tassa & E. Todorov, “Simulation tools for model-based robotics: Comparison of Bullet, Havok, MuJoCo, ODE and PhysX”, ICRA 2015 — 不同仿真器的接触行为对比
H. J. T. Suh, M. Simchowitz, K. Zhang & R. Tedrake, “Do differentiable simulators give better policy gradients?”, ICML 2022 — 接触的非光滑性如何影响梯度