Part IV · 第 13 章反馈控制 · 13.1

PID 控制

机器人里几乎每一个电机背后都跑着一个 PID：比例项看现在的误差，积分项记住过去，微分项预判将来。这一节在一个受重力的关节上把三项拆开来玩，再看真实硬件上它会怎样出问题：微分冲击与噪声、饱和与积分饱和（windup）、采样率；最后学会整定（Ziegler–Nichols 与手动）、前馈，以及伺服驱动器和无人机里层层嵌套的串级回路。

约 45 分钟前置：2.1 导数 · 2.3 积分 · 2.5 常微分方程 · 8.3 质量矩阵与科氏力 · 9.4 执行器与传感器 7 个交互

1为什么机器人需要它

规划器说"关节 2 在 0.5 秒后要到 60°"，电机却只听得懂电压和电流。中间隔着摩擦、重力、没建模的负载、会变的电池电压。要让关节真的到达 60° 并停在那里，就得不停地测量、比较、修正：这就是反馈。PID 是反馈控制里最简单、最普遍的形式，它只看一个数：误差 $e=q_d-q$（目标角减实际角）。

每一个关节伺服：工业臂、协作臂、舵机里都有位置环、速度环、电流环，几乎全是 P、PI 或 PID。
无人机：姿态角的 P 环套着角速度的 PID 环，几百赫兹到上千赫兹地跑。
足式机器人：强化学习策略常常只输出"关节目标角"，真正驱动电机的是每个关节上的 PD 环。
其他一切：轮速、夹爪力、3D 打印机喷头温度、云台……

Åström 与 Murray 的教科书引用了一项对炼油、化工和造纸行业一万一千多个控制器的调查（Desborough 与 Miller，2002）：97% 的常规控制器用的是 PID 算法，其中很多实际上只是 PI。它好用，是因为不需要模型就能工作；它难用，是因为真实硬件的饱和、噪声、延迟会让教科书公式出各种问题。2.5 节的 FIG 5 已经用 PD 控制过一个受重力的关节，并看到它停在离目标差一截的地方。这一节从那里接着走。

2直觉：现在、过去、将来

想象你伸直手臂提着一桶水，要把它举到某个高度。差得越多，越用力：这是比例项，像一根弹簧。可是桶有重量，弹簧只有在被拉开一截时才出力，所以你会停在比目标低一点的地方，那一截正好让弹簧的力等于桶的重量。于是你会"越等越用力"：只要还差一点，就持续加力，直到差距消失。这是积分项，它记住了过去所有的误差。最后，快到的时候你会提前收力，免得冲过头：这是微分项，它看误差变化的速度，预判将来。三项加起来就是

$$ u(t)\;=\;\hl{P}{K_p\,e(t)}\;+\;\hl{I}{K_i\!\int_0^t e(s)\,ds}\;+\;\hl{D}{K_d\,\dot e(t)},\qquad e=q_d-q . $$

三项从左到右依次对应现在、过去和将来。这里的输出 $u$ 是关节力矩 $\tau$（N·m）。被控的就是 2.5 节那根关节：$J\ddot q+b\dot q+mg\ell\sin q=\tau$，$J=0.5$ kg·m²，$b=0.1$ N·m·s/rad，$mg\ell=4$ N·m，$q$ 从竖直向下量起。电机最多给 ±10 N·m。下图是实时仿真：拖动紫色手柄改目标角，用滑块调三个增益，或者点预设。三项各自的贡献画在右下，也列在下方的条形图里。

FIG 1三个旋钮：一根受重力的关节，实时运行

关节：拖动紫色手柄设目标

P 项 K_pe

I 项 K_i∫e

D 项 −K_dq̇

电机力矩 u

左：琥珀色是关节，紫色虚线是目标角 $q_d$。右上：琥珀色 $q(t)$，紫色虚线 $q_d(t)$（单位：度）。右下：红色 P 项、绿色 I 项、蓝色 D 项、青色总力矩 $u$（N·m），虚线是 ±10 N·m 的电机上限。条形图量程 ±12 N·m。这里的 D 项取的是测量值的导数 $-K_d\dot q$（目标不动时它就等于 $K_d\dot e$，FIG 2 解释为什么这样取），积分项带"条件积分"抗饱和（FIG 3 解释）。把 $K_i$ 调到 0 时，积分状态也一并清零。"推一下"给关节一个突然的角速度；"负载"在末端挂一个重物（$mg\ell$ 增加 2 N·m，惯量增加 0.16 kg·m²）。

试一试

只用 P（$K_i=0$）时手臂在默认目标附近晃个不停。保留 $K_p>0$，加一点 $K_d$（大于 0）让它停下来，目标设在离竖直向下 30° 到 150° 之间（重力矩足够大的地方）：它停在离目标超过 2° 的位置（静止 1 秒以上）。把 $K_p$ 加大，差距缩小了，但消失了吗？
打开积分（$K_i>0$），在同样受重力的目标处让手臂静止 1 秒，误差小于 0.2°。下方绿色的 I 项最后停在多少 N·m？它和重力矩 $mg\ell\sin q_d$ 比如何？
在上一步的状态下（$K_i>0$、静止、误差小于 0.5°）点"负载"：手臂先下沉超过 1°，然后在 6 秒内自己爬回到 0.2° 以内。谁做了这件事？

核心洞见

P 是弹簧，D 是阻尼，I 是记忆。只有 P 和 D 时，静止的关节上 $\dot q=0$，D 项为零，唯一能抵消重力的是 P 项 $K_pe$，所以误差必须不为零：$e_{ss}\approx mg\ell\sin q_d/K_p$。I 项不一样：只要误差不为零，它就一直在变，所以手臂只可能在 $e=0$ 的地方停下，那时积分正好等于重力矩。代价是：积分有"惯性"，加得太猛（试试 PI 预设，$K_d=0$）会让关节振荡甚至发散。

3动手玩：真实硬件上的 D 和 I

微分项：冲击、噪声与滤波

控制器是一段每 1 ms 跑一次的代码，导数只能用差分算：$\dot e\approx(e_k-e_{k-1})/T_s$。2.1 节和 9.4 节已经看到，差分会把测量噪声除以一个很小的 $T_s$，放大成很大的速度误差。PID 里这还要再乘 $K_d$。另一个问题来自目标：目标角突然跳 60°，$e$ 在一个采样周期里跳 1.05 rad，$K_d\Delta e/T_s$ 就是几千 N·m 的尖峰，叫微分冲击（derivative kick）。

两个标准对策：(1) 对测量值求导：用 $-K_d\dot q$ 代替 $K_d\dot e$。目标不动时两者相同，目标跳变时前者不受影响；(2) 给 D 项加一阶低通，截止频率 $f_c$。下图是同一个关节、同一组 $K_p=30,\ K_i=20$，0.3 s 时目标从 0 跳到 60°，编码器 12 位（每圈 4096 格），读数再叠加标准差 $\sigma$ 的噪声。

FIG 2数字控制器里的微分项

上：琥珀色是关节角 $q$，紫色虚线是目标。下：青色是实际送给电机的力矩 $u$（被限制在 ±10 N·m，虚线），琥珀色细线是控制器"想要"的指令 $v$（饱和之前），超出画面时它的峰值写在读数里。"力矩波动"是 $t\ge1.8$ s（手臂已基本停稳）之后 $u$ 的标准差：电机在静止时还在"嗡嗡"抖的程度。噪声序列固定（同一个随机种子），所以每次结果一样。

试一试

切换到"对误差求导"，不开滤波：控制器想要的指令峰值超过 1000 N·m，是电机上限的 100 多倍。切回"对测量值求导"，峰值降到多少？
保持"对测量值求导"，调滤波截止频率 $f_c$，让力矩波动小于 0.3 N·m，同时超调小于 15%。再把 $f_c$ 降到 1 Hz 以下：为什么超调反而变大了？

积分项：饱和与积分饱和（windup）

电机力矩有上限。上限一到，控制器再"想要"更大的力矩也没用，可积分项不知道这件事，它照样把误差一点点加上去。等手臂终于追上目标，积分里已经存了一大笔"欠账"，必须先反向误差很久才能还清：结果是巨大的超调。这叫积分饱和（integrator windup）。在机器人上特别常见：大步长的目标、手臂被人或障碍物挡住、关节碰到限位、急停后恢复。

两种标准的抗饱和（anti-windup）：条件积分（clamping）：输出已经饱和、并且误差还在把它往饱和方向推时，暂停积分；反算（back-calculation）：把"想要的"与"实际给的"之差 $u-v$ 乘上增益 $k_t=1/T_t$ 反馈进积分器，饱和期间积分被拉回到刚好不饱和的值。下图：增益 $K_p=30$、$K_i=30$、$K_d=5$，目标在 0.2 s 时从 0 跳到 90°。"被手挡住"情景下，前 2.5 s 有一只手把手臂挡在 30°。

FIG 3积分饱和与抗饱和

关节（按"播放"）

右图三栏：(1) 琥珀色关节角 $q$、紫色虚线目标；(2) 青色实际力矩 $u$，琥珀色细线是饱和前的指令 $v$，虚线是力矩上限；(3) 绿色是积分项 $I$（N·m），虚线同样是力矩上限：绿线远远冲出虚线，就是积分饱和。竖虚线是播放时间。超调与调节时间从目标跳变（或手松开）起算，调节时间用 ±2% 带。

试一试

选"被手挡住"、不抗饱和：手一松，超调超过 100%，手臂甚至甩过头顶。手被挡住的 2.3 秒里，积分涨到了力矩上限的多少倍？
同一个情景，换成条件积分或反算：超调小于 5%，并且松手后 2.5 秒内进入 ±2% 带。反算的 $k_t$ 取太小或太大会怎样？

核心洞见

教科书里的 PID 是一个线性系统，真实的执行器不是：它有上限、有噪声、按采样周期工作。微分项的问题出在"高频"（目标跳变和噪声都是高频），所以对策是不让高频进入 D（对测量值求导、低通）；积分项的问题出在"控制器以为在出力、其实没有"，所以对策是让积分知道执行器的真实输出（条件积分、反算）。工程里的 PID 代码，一大半篇幅都在处理这两件事。

4第二、第三视角：怎样整定，多快采样

整定：Ziegler–Nichols 的"临界增益"实验

没有模型时怎样选三个增益？Ziegler 与 Nichols（1942）给了一个纯实验的办法：先只用 P，把 $K_p$ 一点点加大，直到系统出现不增也不减的等幅振荡。这时的增益叫临界增益 $K_u$，振荡周期叫 $T_u$。两个数刻画了"系统离不稳定还有多远、有多快"，查表就得到 PID 增益。

这个实验需要一个"加大 $K_p$ 终究会失稳"的对象。FIG 1 的关节是一个阻尼极小的二阶系统（没有延迟），加多少 P 都只是振荡得更快，永远不会失稳，不适合。真实伺服里常见的是用电压驱动的直流电机关节：沿用 9.4 节的电机（$k_t=k_e=0.06$，$R=0.5\ \Omega$，$J_m=10^{-4}$ kg·m²），经 50:1 减速器带动同一根 0.5 kg·m² 的连杆（水平放置，不受重力）。反电动势提供了很强的阻尼，再加上 10 ms 的回路延迟（滤波、通信、PWM，见 9.4 节 FIG 6），加大 $K_p$ 终究会失稳。控制器输出电压，1 kHz，目标是 1° 的小阶跃（电压远小于 24 V 的电源上限，所以这里不考虑饱和）。

FIG 4Ziegler–Nichols 与手动整定

琥珀色是关节角（度），紫色虚线是 1° 的目标，青色细线是电压 $u$（右侧刻度，V）。"① 找 $K_u$"模式只用 P，画 3 秒，读数给出相隔一个周期的两个峰值之比（大于 1 发散，小于 1 衰减）和测得的周期。"② PID"模式画 1.5 秒；三个 Z–N 按钮按表格填入增益（用本图的 $K_u\approx299$ V/rad、$T_u\approx0.136$ s）。

试一试

在"① 找 $K_u$"模式里调 $K_p$，让峰值比落在 0.97 到 1.03 之间（几乎等幅振荡）。读出 $K_u$ 和 $T_u$。
切到"② PID"，点"Z–N PID"：超调约 76%，太猛了。手动调（保留积分 $K_i>0$），让超调小于 5% 且调节时间小于 0.25 s。提示：这个对象本身就带一个积分器（电压决定的是速度），需要的 $K_i$ 很小。

采样率：控制器多快才够快

数字控制器每 $T_s$ 秒才看一眼传感器，中间输出保持不变（零阶保持，2.5 节）。而且"读传感器 → 计算 → 写电机"这一步本身要花时间，很多实现里算出的力矩要到下一个周期才生效，这是一拍延迟。两者合起来大约是 $1.5\,T_s$ 的延迟。延迟吃掉相位裕度（9.4 节），采样越慢越接近失稳。下图：FIG 1 的关节去掉重力，用连续时间设计好的 PD（$K_p=50,\ K_d=7$，$\omega_n=10$ rad/s，$\zeta\approx0.7$，闭环带宽约 1.6 Hz），目标跳 30°，力矩限 ±30 N·m。

FIG 5采样率与一拍延迟

上：琥珀色是采样控制下的关节角，紫色虚线是同一组增益的连续时间控制器（理想参考）。下：青色台阶是采样后送给电机的力矩，每个台阶就是一个采样周期。D 项用测量值的后向差分。

试一试

保持"一拍延迟"，把采样率往下调，找到超调仍小于 10% 的最低采样率（不高于 45 Hz）。它是闭环带宽 1.6 Hz 的多少倍？再往下调一两档，会怎样？

一个概念，三个视角

时域视角（FIG 1–3）：P、I、D 分别是现在、过去、将来的误差。频域视角（FIG 4–5）：P 决定"多快"（穿越频率），D 在穿越频率附近补相位，I 在低频把增益抬到无穷大（所以稳态误差为零），而延迟和采样在高频吃相位；整定就是在这些之间找平衡。极点视角：线性化后的闭环是一个三阶系统，三个增益决定三个极点的位置（第 5 节写出特征多项式；极点配置是 13.2 节的主题）。

5再看数学

提示：把鼠标悬停在公式中带底色的符号上，对应的图元素会被高亮（FIG 1 的 P、I、D 条形与曲线，FIG 2 的力矩曲线，FIG 3 的积分曲线，FIG 4 的关节角曲线，FIG 6 的前馈力矩曲线）。

稳态误差：为什么 P 停不到目标

PD 控制（D 取测量值）下，手臂静止时 $\dot q=\ddot q=0$，运动方程只剩 $mg\ell\sin q=K_p(q_d-q)$。所以静止点满足下式（右边是 $e_{ss}$ 很小时的近似）：

$$ K_p\,e_{ss}=mg\ell\,\sin(q_d-e_{ss})\qquad\Longrightarrow\qquad e_{ss}\approx\frac{mg\ell\sin q_d}{K_p+mg\ell\cos q_d} . $$

FIG 1 的数：$K_p=20$，$q_d=60°$，$e_{ss}=0.156$ rad $=8.9°$（近似式给 9.0°）；$K_p=60$ 时 3.2°。误差与 $K_p$ 成反比，永远不为零。（若关节的负载是常值摩擦或别的常值扰动，结论一样。）

积分为什么消除它：闭环的三阶方程

在目标附近线性化：$q=q_d-e$，$\sin q\approx\sin q_d-e\cos q_d$，记重力"刚度" $k_g=mg\ell\cos q_d$（向下挂着时为正，过了水平线、手臂朝上时为负）。代入 PID（D 取测量值，$\dot q=-\dot e$）：

$$ J\ddot e+(b+K_d)\,\dot e+(K_p+k_g)\,e+K_i\!\int\! e\,dt\;=\;mg\ell\sin q_d . $$

右边 $mg\ell\sin q_d$ 是一个常值负载。对时间求一次导，它就消失了；右边是这个三阶方程的特征多项式：

$$ J\,\dddot e+(b+K_d)\,\ddot e+(K_p+k_g)\,\dot e+K_i\,e=0,\quad Js^3+(b+K_d)s^2+(K_p+k_g)s+K_i . $$

只要闭环稳定，$e\to0$，不管负载多大：积分把"常值扰动"变成了方程右边求导后消失的东西。三阶多项式稳定（三个根都在左半平面）的充要条件（Routh–Hurwitz）是所有系数为正，并且

$$ (b+K_d)\,(K_p+k_g)\;>\;J\,K_i . $$

这解释了 FIG 1 的 PI 预设（$K_p=20,\ K_i=15,\ K_d=0$，$q_d=60°$，$k_g=2$）：$0.1\times22=2.2<0.5\times15=7.5$，不稳定：手臂停不下来，只是因为力矩饱和才被限制在一个持续的大幅摆动里（约 5° 到 85°）。加上 $K_d=3$：$3.1\times22=68>7.5$，稳定。积分要靠阻尼来"托住"：增大 $K_i$ 就要有足够的 $K_d$（或物理阻尼）。另外 $q_d$ 越过水平线后 $k_g<0$，同一组增益的裕度会变小。极点、稳定性与极点配置在 13.2 节系统地讲。

离散 PID、滤波微分与抗饱和

工程上常写成"标准形式"：$u=K_p\big(e+\tfrac1{T_i}\int e+T_d\dot e\big)$，积分时间 $T_i=K_p/K_i$，微分时间 $T_d=K_d/K_p$。实际实现的微分是一阶滤波的：

$$ \begin{gathered} D(s)=\hl{Df}{\frac{K_d\,s}{1+s/\omega_f}}\,\big(-Q(s)\big),\qquad \omega_f=2\pi f_c,\\[6pt] d_k=\alpha\,d_{k-1}+(1-\alpha)\,\frac{-(y_k-y_{k-1})}{T_s},\quad \alpha=e^{-\omega_fT_s}. \end{gathered} $$

右式就是 FIG 2 的代码。测量 $y_k$ 带独立噪声（标准差 $\sigma$）时，未滤波的差分噪声标准差是 $\sqrt2\,\sigma/T_s$：$\sigma=0.05°=8.7\times10^{-4}$ rad、$T_s=1$ ms 给出 1.2 rad/s，乘 $K_d=4$ 就是约 5 N·m 的力矩抖动，与 FIG 2 读数（5.2 N·m，含量化）一致。低通让噪声按 $f_c$ 下降，但给 D 加了相位滞后：$f_c$ 接近闭环带宽时，阻尼来得太晚，就会超调（FIG 2 的 $f_c\le1$ Hz）。对目标跳变 $\Delta r$，未滤波的"对误差求导"给出一拍的尖峰 $K_d\Delta r/T_s$：$4\times1.047/0.001\approx4200$ N·m。

抗饱和。记控制器想要的输出 $v$、执行器实际输出 $u=\mathrm{sat}(v)$。(a) 是条件积分，(b) 是反算：

$$ \text{(a)}\ \ \dot I=\begin{cases}0, & u\ne v\ \wedge\ e\,v>0\\ K_i\,e, & u=v\ \vee\ e\,v\le0\end{cases}\qquad\qquad \text{(b)}\ \ \dot I=K_i\,e+\hl{aw}{\tfrac{1}{T_t}\,(u-v)} . $$

反算在饱和时把 $I$ 以时间常数 $T_t$ 拉向"刚好不饱和"的值。$T_t$ 太大（$k_t$ 太小）等于没有抗饱和；太小则积分被压得太死，离开饱和后要慢慢爬（FIG 3：$k_t=10$ 时不再超调，但调节要约 3 s）。Åström 与 Hägglund 建议 $T_t\approx\sqrt{T_iT_d}$：FIG 3 的 $T_i=1$ s、$T_d=1/6$ s 给出 $T_t\approx0.41$ s，即 $k_t\approx2.4$，落在 FIG 3 的好区间里：默认的 8 N·m 上限下，"被手挡住"情景中 $k_t$ 取 1.5 到 2.5 都能完成上面的任务。

把它们合起来，就是一个可以直接用的控制循环（本页所有图都用这段逻辑）：

// 每 Ts 秒执行一次
e      = r - y                          // 误差
P      = Kp * e
dRaw   = -(y - y_prev) / Ts             // 对测量值求导：目标跳变时没有冲击
dF     = a * dF + (1 - a) * dRaw        // 一阶低通，a = exp(-2π fc Ts)
v      = P + I + Kd * dF + u_ff         // 想要的输出（u_ff：前馈）
u      = clamp(v, -umax, umax)          // 执行器能给的输出
I     += (Ki * e + (u - v) / Tt) * Ts   // 积分 + 反算抗饱和
y_prev = y
send(u)

另一种常见写法是增量式（velocity form）：每拍只算增量 $\Delta u_k=K_p(e_k-e_{k-1})+K_iT_se_k+K_d(e_k-2e_{k-1}+e_{k-2})/T_s$，再令 $u_k=\mathrm{sat}(u_{k-1}+\Delta u_k)$。因为累加的是饱和后的 $u$，它天然不会积分饱和，切换手动/自动时也没有跳变（无扰切换）。还要注意：如果代码里存的是"每拍增益" $K_iT_s$ 和 $K_d/T_s$，改变采样周期就会悄悄改变实际的 $K_i$、$K_d$。用 Tustin（双线性）变换 $s\leftarrow\tfrac2{T_s}\tfrac{z-1}{z+1}$ 离散化比后向差分更接近连续设计，但在 $f_s$ 远高于带宽时差别很小。

Ziegler–Nichols 表与采样率经验法则

Ziegler–Nichols 的"临界增益"表（目标是每个周期振幅衰减到 1/4）：

	$K_p$	$T_i$	$T_d$	FIG 4 中（$K_i=K_p/T_i,\ K_d=K_pT_d$）
P	$0.5\,\hl{Ku}{K_u}$	—	—	$K_p=149$
PI	$0.45\,\hl{Ku}{K_u}$	$T_u/1.2$	—	$K_p=134,\ K_i=1186$
PID	$0.6\,\hl{Ku}{K_u}$	$T_u/2$	$T_u/8$	$K_p=179,\ K_i=2637,\ K_d=3.05$

在 FIG 4 的对象上，Z–N PID 的超调是 76%，Z–N PI 在 1.5 s 内都没有调节下来。原因有二：Z–N 本来是为"抑制负载扰动"、按 1/4 衰减设计的，对目标阶跃本来就猛；而这个对象（电压 → 速度 → 位置）自带一个积分器，再加一个强积分就太多了。手动调到 $K_p=100,\ K_i=10,\ K_d=4$，超调 0.7%，0.18 s 调节完。所以 Z–N 是起点，不是终点。手动整定的常用顺序：先只用 P，加到响应够快、略有超调；再加 D 压住振荡；最后加一点 I 消除稳态误差；若有噪声或执行器抖动，回头降 D 或加滤波。对串级回路，从内环往外调（FIG 7）。

FIG 5 的结果给出一个经验法则：带一拍延迟时，40 Hz（闭环带宽 1.6 Hz 的 25 倍）超调 8%，35 Hz 已到 16%，到 25 Hz 及以下就成了持续振荡。教科书常说采样率至少取闭环带宽的 20 倍左右，再留出噪声与延迟的余量；机械臂关节环常用 1 kHz，电流环 10 kHz 量级，正是这个道理。

前馈与串级

反馈只能在误差出现之后才纠正。如果知道要走的轨迹 $q_d(t)$ 和模型，就可以提前把需要的力矩送出去：

$$ u=\hl{ff}{\underbrace{\hat J\,\ddot q_d+\hat b\,\dot q_d+\widehat{mg\ell}\,\sin q_d}_{u_{ff}}}\;+\;\underbrace{K_p\,e+K_d\,\dot e\,(+K_i\!\textstyle\int e)}_{u_{fb}} . $$

$u_{ff}$ 是前馈，$u_{fb}$ 是反馈。模型精确时，代入运动方程得 $J\ddot e+(b+K_d)\dot e+K_pe+\dots\approx0$（在轨迹附近线性化）：误差方程不再有"驱动项"，不论轨迹多快，误差都只会衰减。模型不准时，驱动项正比于模型误差，反馈只需要处理这部分残差。这和 8.3 节的计算力矩控制是同一个思路（计算力矩还把反馈项乘上模型惯量，并在测得的状态而不是目标轨迹上计算模型项）；多关节时 $u_{ff}$ 由逆动力学（8.2 节的 RNEA）给出。

串级把一个难对象拆成一串简单对象，每层一个 P 或 PI。以 FIG 7 的伺服驱动器为例：电流环的对象是绕组 $1/(Ls+R)$，用 PI 且令零点抵消极点，$K_p=L\omega_c$、$K_i=R\omega_c$，闭环近似 $\omega_c/(s+\omega_c)$；速度环的对象（电流环看作 1）是 $k_t/(J_ts)$，PI 取 $K_p=J_t\omega_v/k_t$，零点放在 $\omega_v/4$；位置环的对象（速度环看作 1）是积分器，P 增益就是带宽 $\omega_p$。"内环看作 1"成立的前提是带宽分离：每层比外层快 4–10 倍。

6机器人中的它：前馈与串级伺服

机械臂很少只是"停在一个角度"，它要跟踪一条轨迹。下图让 FIG 1 的关节跟踪 $q_d(t)=70°+50°\sin(2\pi t/T)$，反馈是固定的 PD（$K_p=30$，$K_d=4$，D 取误差导数，因为轨迹是光滑的，不会有冲击）。三个按钮分别打开重力、速度（粘滞摩擦）、加速度（惯量）三项前馈；"模型误差"让控制器以为 $J,b,mg\ell$ 都是真实值的 $1+\delta$ 倍。

FIG 6反馈追，前馈领

关节（按"播放"）

右图三栏：(1) 琥珀色 $q$、紫色虚线 $q_d$（度）；(2) 红色跟踪误差 $e$（度，量程自动）；(3) 绿色是前馈力矩 $u_{ff}$，青色是反馈力矩 $u_{fb}$（N·m）。RMS 误差从 $t=2$ s 起算（跳过初始过渡）。前馈全开且模型准确时，反馈几乎无事可做，青色线贴近零。

试一试

周期 3 s 时只开重力前馈，RMS 误差从约 5.8° 降到约 2.7°；周期 2 s 时只降了一点点，为什么？然后打开全部三项前馈，并把模型误差调到 $|\delta|\ge20\%$：RMS 误差仍小于 1.5°。

最后看一个真实伺服驱动器内部。位置环（1 kHz）输出速度指令，速度环（5 kHz）输出电流指令，电流环（20 kHz）输出电压。电机沿用 9.4 节（24 V 供电，绕组电感取 0.5 mH），驱动器限流设为 20 A（低于 9.4 节电机 30 A 的峰值），50:1 减速，负载就是 FIG 4 的连杆。目标在 0.05 s 时跳 10°，0.6 s 时有人在关节上加 10 N·m 的负载（"负载阶跃"）。电流环带宽固定为 1 kHz（$2\pi\times1000$ rad/s），你可以调位置环带宽 $\omega_p$ 和速度环与位置环的带宽比。

FIG 7伺服驱动器的三层串级

q_d→ 位置 P1 kHz · ω_p→ ω_ref → 速度 PI5 kHz · ω_v→ i_ref → 电流 PI20 kHz · ω_c→ V → 电机 + 50:1 + 连杆

三栏从上到下对应三层回路：(1) 琥珀色关节角 $q$、紫色虚线目标（度）；(2) 电机转速：紫色是速度环收到的指令 $\omega_{ref}$，琥珀色是实际转速（rad/s，电机侧）；(3) 电流：青色是电流指令 $i_{ref}$，琥珀色是实际电流（A），虚线是 ±20 A 限流。默认设置下，阶跃一开始电流就顶到限流：速度环的输出饱和，驱动器以最大力矩加速，这正是串级的另一个好处，限流天然在里面。竖虚线是负载阶跃时刻。

试一试

在默认 $\omega_p=20$ rad/s 下先把带宽比调到 1（速度环和位置环一样快）：超调超过 20%。再调 $\omega_p$ 和带宽比，让阶跃超调小于 1%，且负载阶跃造成的位置下沉小于 0.25°。带宽比至少要多大？

真实系统里

伺服驱动器与智能舵机：工业伺服和无刷驱动器都是 FIG 7 的串级结构，电流环跑在 10 kHz 量级（9.4 节）。开源的 ODrive 把三层的增益直接暴露为 pos_gain、vel_gain、vel_integrator_gain；Dynamixel X 系列舵机的控制表里有位置环的 P/I/D 增益、速度环的 P/I 增益，以及速度和加速度两项前馈增益（Feedforward 1st/2nd Gain），与 FIG 6 的速度、加速度前馈是同一个思路。无人机：PX4 的多旋翼姿态控制是"角度误差 → P → 角速度指令 → 角速度 PID → 力矩"，参数名如 MC_ROLL_P、MC_ROLLRATE_P/I/D；ArduPilot 对应 ATC_ANG_RLL_P 与 ATC_RAT_RLL_P/I/D。内环（角速度）比外环快，与 FIG 7 同理。足式机器人：Unitree 的底层电机指令包含目标位置、目标速度、前馈力矩和 $K_p$、$K_d$，电机按 $\tau=K_p(q_d-q)+K_d(\dot q_d-\dot q)+\tau_{ff}$ 执行；强化学习策略通常以几十赫兹输出 $q_d$，关节 PD 以高得多的频率跟踪。ROS 2：ros2_control 的 control_toolbox 提供带积分限幅（抗饱和）选项的 PID；关节轨迹控制器在以速度或力矩为指令接口时，可以在每个关节上闭一个 PID 环，并加上速度前馈。自动整定：Åström 与 Hägglund（1984）的继电器（relay）法用开关控制激出极限环，安全地测出 $K_u$、$T_u$；3D 打印机固件 Marlin 的 M303 命令就用这种继电器振荡来自动整定喷头温度 PID。

7常见误区

误区 1：仿真里调好的 D，上真机就抖

仿真里的速度是"干净"的，真机的速度来自编码器差分，量化和噪声被 $1/T_s$ 放大（FIG 2 里 $\sigma=0.05°$ 就带来 5 N·m 的力矩抖动）。症状是电机发热、发出啸叫、减速器磨损。对策：D 取测量值，加低通（截止频率取闭环带宽的几倍到十几倍），能直接测速度（测速电机、驱动器内的观测器）就别差分；仿真时把编码器量化和噪声也加进去。

误区 2：忘了积分在"后台"一直在累加

手臂碰到限位、被人抓住、夹爪夹住物体、急停后电机断使能：误差还在，积分照样累加。重新使能或松开的那一刻，积好的力矩一下子释放（FIG 3 里积分涨到上限的 10 倍，手臂甩过头顶）。除了抗饱和，还要在控制器失能时冻结或清零积分，切换模式时做无扰切换。接触任务（13.5 节）里常干脆不用积分，或给它很小的限幅。

误区 3：用积分去干前馈的活

重力矩随姿态变化，而积分是慢的：每次姿态改变，积分都要重新"找"一遍，期间就有误差和超调。已知的力（重力、粘滞摩擦、惯性力）应该用前馈直接给出（FIG 6：周期 3 s 时 RMS 误差从 5.8° 降到 0.002°），积分只留给真正未知的、慢变的残差。增大 $K_i$ 去追轨迹，换来的往往是振荡（第 5 节的稳定条件）。

误区 4：串级回路从外往里调，或者内外一样快

外环的设计假设"内环像一根导线"（增益为 1、没有延迟）。内环没调好，外环的增益就是在补偿内环的毛病；内外带宽太接近，两层的动态耦合，超调和振荡就来了（FIG 7 默认 $\omega_p=20$ rad/s、带宽比为 1 时超调超过 20%）。正确顺序是先电流环、再速度环、最后位置环，每层比外一层快 4–10 倍。无人机同理：先调角速度环，再调角度环。

误区 5：以为增益越大越好

大 $K_p$ 让稳态误差变小、响应变快，但每个真实回路都有延迟（采样、滤波、通信、PWM）。一段延迟 $\Delta$ 在穿越频率 $\omega_{gc}$ 处吃掉 $\omega_{gc}\Delta$ 弧度的相位（9.4 节），增益加到某处必然失稳（FIG 4 的 $K_u\approx299$ V/rad 就是这个边界）。噪声也随增益放大，执行器也会饱和。好的控制器是在"够快"和"够稳、够安静"之间的平衡，而不是增益的竞赛；想要又快又准，靠的是前馈和更好的模型，不是更大的反馈增益。

8小练习

1. FIG 1 的关节（$mg\ell=4$ N·m）只用 PD，$K_p=20$ N·m/rad，目标 $q_d=90°$（水平）。手臂停下后，稳态误差大约是多少？

静止时 $K_pe=mg\ell\sin(q_d-e)=4\cos e$。水平处 $k_g=mg\ell\cos90°=0$，近似 $e\approx4/20=0.2$ rad $\approx11.5°$；精确解 $20e=4\cos e$ 给出 0.196 rad $\approx11.2°$。所以是选项 C。D 项在静止时为零，帮不上忙。

2. 为什么加了积分项之后，常值负载下的稳态误差变成了零？

选项 B。平衡时所有状态不变，其中积分状态的导数就是 $e$，所以必须 $e=0$。前提是闭环稳定（第 5 节的 Routh 条件）。选项 A 只是减小误差而不能消除；选项 C 描述的是微分项；积分让系统的阶数升高一阶，而不是变成一阶。

3. 机械臂每次收到新的目标点，电机都会"咯噔"一下，电流尖峰触发了驱动器过流保护。增益本身调得没问题。最可能的原因和对策是？

选项 A。目标在一个采样内跳 $\Delta r$，$K_d\Delta r/T_s$ 是巨大的尖峰（FIG 2 里约 4200 N·m）。对测量值求导时目标跳变不进入 D，P 项的跳变 $K_p\Delta r$ 还在，所以实际中还会把目标轨迹做平滑。加大 $K_i$、降采样率都与此无关，后者还会损害稳定性（FIG 5）。

4. 一个协作臂被人用手挡住几秒，松手后猛地冲过目标很远。下列哪个改动最直接地解决这个问题？

选项 D。被挡住期间误差持续存在，力矩早已顶到上限，积分却还在累加（FIG 3 中涨到上限的约 10 倍）。松手后这笔"欠账"要靠反向误差慢慢还，于是冲过头。抗饱和直接阻止了这件事。加大 $K_d$ 只是部分压住冲势；提高上限只是把问题推后（被挡住时同样会累积），而且让碰撞更危险。

5. 一个伺服的速度环带宽是 30 rad/s，有人把位置环带宽调到了 25 rad/s，结果超调很大。最合理的做法是？

选项 B。外环设计假设内环"像一根导线"，这需要带宽分离。带宽比约 1.2 时两层动态强烈耦合（FIG 7 在默认 $\omega_p$ 下带宽比为 1 时超调超过 20%）。选项 C 让问题更糟；给外环加积分只会再添相位滞后；采样率不是瓶颈。

9延伸阅读

K. J. Åström & R. M. Murray, Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, Princeton University Press, 2008 (2nd ed. 2021) — PID 一章：积分作用、抗饱和、滤波微分与整定；全书免费在线
K. J. Åström & T. Hägglund, PID Controllers: Theory, Design, and Tuning, 2nd ed., ISA, 1995; Advanced PID Control, ISA, 2006 — PID 的权威专著：实现细节、抗饱和、自动整定
J. G. Ziegler & N. B. Nichols, Optimum Settings for Automatic Controllers, Trans. ASME 64, 1942 — 临界增益法的原始论文
K. J. Åström & T. Hägglund, Automatic Tuning of Simple Regulators with Specifications on Phase and Amplitude Margins, Automatica 20(5), 1984 — 继电器自动整定
N. Minorsky, Directional Stability of Automatically Steered Bodies, J. American Society of Naval Engineers 34, 1922 — 为船舶自动操舵写下的三项控制律，PID 的早期理论分析
G. F. Franklin, J. D. Powell & M. L. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, 3rd ed., Addison-Wesley, 1998 — 离散化、采样率选择与零阶保持
M. W. Spong, S. Hutchinson & M. Vidyasagar, Robot Modeling and Control, 2nd ed., Wiley, 2020 — 独立关节控制：PID、前馈与执行器动力学
K. Lynch & F. Park, Modern Robotics, Ch. 11 — 机器人控制：误差动力学、PID 与前馈加反馈
B. Beauregard, Improving the Beginner's PID, blog series, 2011 — 从最简 PID 一步步加上采样时间、微分冲击、抗饱和与无扰切换的实践教程

	\(K_p\)	\(T_i\)	\(T_d\)	FIG 4 中（\(K_i=K_p/T_i,\ K_d=K_pT_d\)）
P	\(0.5\,\hl{Ku}{K_u}\)	—	—	\(K_p=149\)
PI	\(0.45\,\hl{Ku}{K_u}\)	\(T_u/1.2\)	—	\(K_p=134,\ K_i=1186\)
PID	\(0.6\,\hl{Ku}{K_u}\)	\(T_u/2\)	\(T_u/8\)	\(K_p=179,\ K_i=2637,\ K_d=3.05\)