Part I · 第 3 章多元与向量微积分 · 3.3

雅可比：局部线性变换

非线性映射会把方格网弄弯。可只要拿放大镜对准任何一点，弯曲的网格就会变回一张笔直、等距、只是被斜拉过的网格，也就是一个矩阵。这个"放大之后看到的矩阵"就是雅可比矩阵 (Jacobian)。机械臂的速度、EKF 的线性化、逆运动学的每一步迭代，都靠它。

约 25 分钟前置：1.3 矩阵即变换 · 2.1 导数 · 3.1 偏导 5 个交互

1为什么机器人需要它

机械臂的控制器每毫秒都要回答一个问题："如果让每个关节以某个速度转，手爪会朝哪个方向、以多快的速度移动？"从关节角到手爪位置的映射里全是 sin 和 cos，是弯的、非线性的。控制器想要的答案却是线性的：关节速度乘以一个矩阵，等于手爪速度。

同样的需求在机器人里随处可见：

扩展卡尔曼滤波 (EKF) 要在当前估计附近，把非线性的传感器模型"拉直"成一个矩阵，才能套用卡尔曼滤波的公式；
视觉 SLAM 与相机标定要知道：三维点挪动一点点，它在图像上的像素会挪多少；
逆运动学和 Gauss-Newton 优化每一步都在问：参数朝哪个方向改，误差下降得最快？

这些问题找的是同一个东西：一个非线性映射在某一点附近的最佳线性近似。它就是本节的主角。

2直觉：放大到足够近，弯的都会变直

先回到一维（2.1 节）。一条曲线远看是弯的，但盯住曲线上一点不断放大，它会越来越像一条直线，也就是那一点的切线。切线的斜率 $g'(a)$ 就是导数。

换个说法：在 $a$ 附近，$g$ 的行为就像"乘以 $g'(a)$"这个最简单的线性映射。输入挪动 $\delta$，输出就挪动 $g'(a)\,\delta$。拖动黄点换个位置，再把放大倍数拉高看看。

FIG 1放大一条曲线

青色是曲线 $g(x)$，黄色虚线是 $a$ 处的切线。红色横边是输入的挪动 $\delta$，绿色竖边是切线预测的输出挪动 $g'(a)\,\delta$。放大 100 倍后，曲线和切线已经分不开了。

二维也是同一个故事。回想 1.3 节的橡皮膜：非线性映射 $f:\R^2\to\R^2$ 把膜上的方格网弄得弯弯曲曲。可是用放大镜对准某一点 $\mathbf p$，放得越大，看到的网格就越接近笔直、平行、等距，只是被斜拉、旋转、伸缩过。这正是 1.3 节里线性变换的样子，而线性变换就是一个矩阵。

这个矩阵只属于 $\mathbf p$ 这一点，换一个点，放大后看到的斜网格就不一样。它叫做 $f$ 在 $\mathbf p$ 处的雅可比矩阵 $J(\mathbf p)$：

$$ f(\mathbf p + \boldsymbol\delta) \;\approx\; \cv{f(\mathbf p)} \;+\; \cw{J(\mathbf p)}\,\boldsymbol\delta \qquad (\boldsymbol\delta \text{ small}) $$

核心洞见

雅可比矩阵就是放大之后看到的那个线性变换。按 1.3 节的读法读它的列：第 1 列是"沿第 1 个输入方向轻推一下，输出往哪走、走多快"，第 2 列是"沿第 2 个输入方向轻推一下"。所以第 $j$ 列就是偏导数 $\partial f/\partial x_j$（3.1 节）。

3动手玩：雅可比实验室

左边是输入平面：拖动黄点 $\mathbf p$，它周围有一个边长为 $h$ 的小方块。右边是输出平面：青色的弯曲网格是 $f$ 作用之后的网格；黄色区域是小方块的真实像（边是弯的）；紫色虚线平行四边形是雅可比的预测 $f(\mathbf p) + J\,\boldsymbol\delta$。切换到"放大"视图，再把 $h$ 往小拉，看两者如何重合。

FIG 2雅可比实验室

小方块的红边沿第 1 个输入方向，绿边沿第 2 个输入方向；它们的像在右边仍用红、绿表示。穿过 $\mathbf p$ 的两条网格线也标成了红、绿。黄色是真实的像，紫色虚线是线性预测，短红线连接对应的角点，长度就是误差。注意：把 $h$ 减半，角点误差大约变成原来的四分之一。

试一试

把 $h$ 缩小，直到相对误差低于 1%：这时弯曲的像和平行四边形已经肉眼难辨。
找一个让 $J$ 退化（$\det J \approx 0$）的点。提示：试试"复平方"的原点，或者极坐标里的 $r = 0$。小方块的像变成了什么？
在"镜头畸变"里找一个让网格翻面（$\det J < 0$）的点。它们都在一个圆环外面，那个圆环就是"折痕"。

从实验里可以读出两件事。第一，误差随 $h$ 按平方缩小：$h$ 减半，误差约变为四分之一；而方块本身只缩小一半，所以相对误差也跟着减半。这就是"一阶近似"的确切含义：剩下的误差比 $\boldsymbol\delta$ 本身小得多。

第二，$J$ 在每一点都不同。在极坐标的例子里，越往外（$r$ 越大），绿色那一列越长：同样转动角度 $\theta$，离原点越远的点走得越远。

4第二视角：列是速度，行列式是面积

1.3 节说，矩阵的列是 î、ĵ 的去向。对雅可比来说，"去向"换成了"速度"：让输入点沿第 1 个坐标方向以单位速度匀速前进，它的像会沿一条弯曲的路走，像在每一时刻的速度向量，正好是那一时刻所在点的雅可比的第 1 列。

下面的动画就在做这件事。看实线箭头（当前位置的速度）经过 $\mathbf p$ 时，与虚线箭头 $J(\mathbf p)$ 的那一列完全重合。

FIG 3雅可比的列 = 输出的速度

输入：匀速直线运动

输出：弯曲路径上的速度

箭头都按 0.55 倍长度绘制。左边的箭头始终是单位长度的 $\hat e_j$；右边的实线箭头是当前点处的 $J\,\hat e_j$，即第 $j$ 列。下方的有限差分读数用 $\big(f(\mathbf p+\varepsilon\hat e_j)-f(\mathbf p)\big)/\varepsilon$ 估计这一列：把 $\varepsilon$ 从 1 一路拉到 $10^{-15}$，误差会先下降、再回升。

再看行列式。1.5 节讲过，矩阵的行列式是面积的缩放倍数，负号表示网格翻了面。非线性映射在每一点都有自己的雅可比，也就有自己的缩放倍数 $\det J(\mathbf p)$：那一点附近的小方块，面积被放大（或缩小）了这么多倍。

下图把 $\det J$ 画成输入平面上的一张热力图。把鼠标移到图上（手机上点一下），右边会显示那一点的 $J$ 把单位正方形变成了什么。

FIG 4$\det J$：每一点的面积缩放

< 00> 0

青色表示 $\det J > 0$（保持朝向），紫色表示 $\det J < 0$（翻面），颜色越淡越接近 0。红色细线标出 $\det J$ 变号的位置，也就是"折痕"。右上小图：浅色虚线是单位正方形，彩色平行四边形是它在 $J$ 下的像，红、绿边分别是 $J$ 的两列。

几个值得留意的现象：漩涡看起来扭得很厉害，$\det J$ 却处处等于 1，它只搬动不压缩，是一个保面积的映射。极坐标的 $\det J = r$，越靠近 $r=0$ 越淡。镜头畸变有一圈 $\det J = 0$ 的折痕，折痕以外的部分被翻折回来，同一个像素对应了两个方向的光线。真实的鱼眼镜头模型只在折痕以内才可逆，标定时要特别小心。

5再看数学

提示：把鼠标悬停在公式中带底色的符号上，FIG 2 中对应的元素会被高亮。

定义

设 $f:\R^n\to\R^m$，$f = (f_1,\dots,f_m)$。它在点 $\mathbf p$ 处的雅可比矩阵是 $m\times n$ 的偏导数表：第 $i$ 行第 $j$ 列是"第 $i$ 个输出对第 $j$ 个输入的偏导"。

$$ J_f(\mathbf p) = \begin{bmatrix} \hl{c1}{\ci{\dfrac{\partial f}{\partial x_1}}} & \hl{c2}{\cj{\dfrac{\partial f}{\partial x_2}}} & \cdots & \dfrac{\partial f}{\partial x_n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ci{\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}} & \cj{\dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \ci{\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}} & \cj{\dfrac{\partial f_m}{\partial x_2}} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}, \qquad J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\mathbf p). $$

按列读：第 $j$ 列是沿 $x_j$ 轻推时输出的速度（FIG 3）。按行读：第 $i$ 行是单个输出 $f_i$ 的梯度 $\nabla f_i^\top$（3.2 节）。特别地，如果输出只有一个数（$m = 1$），雅可比就是一行，正好是梯度的转置：$J = \nabla f^\top$。

一阶泰勒展开

"放大后像一个矩阵"写成公式，就是：

$$ f(\mathbf p + \hl{d}{\boldsymbol\delta}) \;=\; \hl{fp}{\cv{f(\mathbf p)}} \;+\; \hl{J}{\cw{J(\mathbf p)}}\,\hl{d}{\boldsymbol\delta} \;+\; \hl{err}{o(\|\boldsymbol\delta\|)} $$

链式法则：局部线性映射的复合就是矩阵乘法

先做 $f$，再做 $g$。在 $\mathbf p$ 附近，$f$ 像矩阵 $J_f(\mathbf p)$；在 $f(\mathbf p)$ 附近，$g$ 像矩阵 $J_g(f(\mathbf p))$。两个线性映射接连作用，就是两个矩阵相乘（1.4 节）：

$$ J_{g\circ f}(\mathbf p) \;=\; J_g\big(f(\mathbf p)\big)\; J_f(\mathbf p). $$

注意两件事：顺序是"后做的在左边"，和 1.4 节的矩阵复合一样；$J_g$ 要在 $f(\mathbf p)$ 处求值，而不是在 $\mathbf p$ 处。机器人里，相机投影的雅可比就是这样拼出来的：世界点 → 相机坐标（位姿变换）→ 像素（针孔投影），各自的雅可比相乘即可。

行列式与反函数

由 1.5 节，小区域经过 $f$ 后面积约放大 $|\det J|$ 倍，这就是换元积分里那个因子的来源。在 $\det J(\mathbf p)\ne 0$ 的地方，$f$ 在局部可逆，反函数的雅可比就是雅可比的逆（反函数定理）：

$$ \operatorname{area}\big(f(\Omega)\big) \approx |\det J(\mathbf p)|\cdot\operatorname{area}(\Omega), \qquad J_{f^{-1}}\big(f(\mathbf p)\big) = J_f(\mathbf p)^{-1}\quad (\det J_f(\mathbf p)\neq 0). $$

例题：极坐标

$f(r,\theta) = (r\cos\theta,\; r\sin\theta)$。对 $r$ 求偏导得第 1 列，对 $\theta$ 求偏导得第 2 列：

$$ J(r,\theta) = \begin{bmatrix} \ci{\cos\theta} & \cj{-r\sin\theta} \\ \ci{\sin\theta} & \cj{r\cos\theta} \end{bmatrix}, \qquad \det J = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r. $$

逐列读出几何意义：第 1 列是单位长度的径向向量，沿 $r$ 走一步，点就朝外走一步；第 2 列垂直于径向、长度为 $r$，转动 $\theta$ 时，离原点越远的点走得越快。$\det J = r$ 说明 $dr\times d\theta$ 的小矩形变成面积约 $r\,dr\,d\theta$ 的小扇形，这就是 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。在 $r=0$ 处第 2 列为零，转动 $\theta$ 根本不动，$J$ 退化，这正是 FIG 2 的任务 2。

6机器人中的它：两连杆机械臂

平面两连杆机械臂，连杆长 $l_1, l_2$，关节角 $\theta_1, \theta_2$。正运动学把关节角映射到末端位置，这就是一个 $\R^2\to\R^2$ 的非线性映射，和 FIG 2 里的那些映射没有本质区别：

$$ \mathbf x(\boldsymbol\theta) = \begin{bmatrix} l_1\cos\theta_1 + l_2\cos(\theta_1+\theta_2) \\ l_1\sin\theta_1 + l_2\sin(\theta_1+\theta_2) \end{bmatrix}, \qquad \cv{\dot{\mathbf x}} = J(\boldsymbol\theta)\,\dot{\boldsymbol\theta}, $$ $$ J(\boldsymbol\theta) = \begin{bmatrix} \ci{-l_1 s_1 - l_2 s_{12}} & \cj{-l_2 s_{12}} \\ \ci{l_1 c_1 + l_2 c_{12}} & \cj{l_2 c_{12}} \end{bmatrix}, \qquad \det J = l_1 l_2 \sin\theta_2 $$

（$s_1 = \sin\theta_1$，$c_{12} = \cos(\theta_1+\theta_2)$，以此类推。）第 1 列是只转关节 1 时末端的速度：整条手臂绕基座转，所以它垂直于"基座→末端"的连线。第 2 列是只转关节 2 时的速度：只有前臂绕肘部转，所以它垂直于前臂。当两列平行时，也就是基座、肘部、末端三点共线（手臂完全伸直或完全折回，$\theta_2 = 0$ 或 $\pi$），$\det J = 0$，末端在某个方向上无论关节怎么转都动不了。这叫奇异位形 (singular configuration)。

左边是关节空间：拖动黄点改变 $(\theta_1, \theta_2)$，背景是 $\det J$ 的热力图。右边是工作空间：也可以直接拖动末端，机械臂会用雅可比做逆运动学跟上来。关节空间里的黄色小圆被映射成工作空间里的黄色椭圆（速度椭圆），紫色虚线是小圆的真实像。

FIG 5两连杆机械臂的雅可比

关节空间 (θ₁, θ₂)

工作空间 (x, y)

末端的红、绿箭头是 $J$ 的两列（按小圆半径 ρ 缩放），也就是只转关节 1 或只转关节 2 时末端的速度。红色细虚线是基座到末端的连线，红箭头总是垂直于它。左图中的红色虚线 $\theta_2 = 0, \pm\pi$ 是奇异位形。把末端往工作空间的边缘拖，看看手臂和椭圆会怎样。

让机械臂进入奇异位形：速度椭圆被压扁成一条线段，两个红绿箭头变得共线。

真实系统里

速度控制：给定末端期望速度 $\dot{\mathbf x}$，求关节速度 $\dot{\boldsymbol\theta} = J^{-1}\dot{\mathbf x}$。靠近奇异位形时 $J^{-1}$ 会爆炸，所以工业控制器普遍使用阻尼最小二乘 $J^\top(JJ^\top+\lambda^2 I)^{-1}$，FIG 5 的拖动逆解用的就是它。EKF：观测模型 $h(\mathbf x)$ 的雅可比 $H = \partial h/\partial\mathbf x$ 决定了卡尔曼增益，每一步都要在新的估计点上重新计算。SLAM / 光束法平差：重投影误差对位姿和三维点的雅可比，按链式法则由"位姿变换"和"针孔投影"两段拼出。6 自由度机械臂的完整雅可比（包含角速度）留到 3.4 节。

7常见误区

误区 1：雅可比是一个固定的矩阵

不是。它是一个矩阵场：每个点都有自己的 $J(\mathbf p)$。用旧点上算出的 $J$ 去处理新点，是 EKF 和逆运动学代码里的经典 bug。状态一变，就要在新的点上重新线性化。

误区 2：把 $J$ 当成反方向的映射，或者随手求逆

$J$ 把输入的微小变化映射成输出的微小变化，方向是固定的。反方向要用 $J^{-1}$，而它只在 $\det J\ne 0$ 时存在。在奇异点附近，$J^{-1}$ 里的数会变得极大：末端只想挪一毫米，关节却要飞速转动。

误区 3：忘了近似只在局部成立

误差按 $\|\boldsymbol\delta\|^2$ 增长。在 FIG 2 里把 $h$ 调大，预测很快就离谱了。Gauss-Newton 和牛顿法如果一步迈得太大，就会跳出线性近似成立的范围，所以实际实现里总有步长控制或阻尼（Levenberg-Marquardt）。

误区 4：变量顺序和单位

列的顺序跟着输入变量的顺序走：写成 $(r,\theta)$ 还是 $(\theta,r)$，矩阵的列就会对调，行列式也会变号。各列的单位也可能不同：极坐标的第 1 列是"米/米"，第 2 列是"米/弧度"。把位置（米）和角度（弧度）放进同一个状态向量时，要想清楚尺度，否则矩阵的条件数会很差。

误区 5：有限差分的步长随便取

用 $\big(f(\mathbf p+\varepsilon\hat e_j)-f(\mathbf p)\big)/\varepsilon$ 数值求雅可比时，$\varepsilon$ 太大有截断误差，太小则两个几乎相等的浮点数相减，舍入误差会被放大。双精度下前向差分的经验值约为 $\varepsilon\approx 10^{-8}\times$（变量的尺度），中心差分更准。FIG 3 下方的滑块可以亲自验证这一点。

8小练习

1. $f(x,y) = (x^2,\; xy)$。它在点 $(1, 2)$ 处的雅可比是？

第 1 行是 $f_1 = x^2$ 的偏导 $(2x,\,0)$，第 2 行是 $f_2 = xy$ 的偏导 $(y,\,x)$。代入 $(1,2)$ 得 $\begin{bmatrix}2&0\\2&1\end{bmatrix}$。选项 A 是它的转置，正是"行列搞反"的错误。

2. 在极坐标映射下，输入平面中 $r = 2$ 附近一个 $dr\times d\theta$ 的小矩形，它的像面积约为？

面积缩放倍数是 $|\det J| = r = 2$。直观上：径向长度不变，角向长度被放大成 $r\,d\theta$。

3. 平面两连杆机械臂（$l_1, l_2 > 0$）在什么情况下处于奇异位形？

$\det J = l_1 l_2\sin\theta_2$，只和 $\theta_2$ 有关，在 $\theta_2 = 0, \pi$ 时为零。此时两列都垂直于同一条直线，末端沿这条直线方向动不了。$\theta_2 = \pi/2$ 恰恰相反，$|\det J|$ 最大，最灵活。

4. 像素坐标 = $g(f(\mathbf p))$，其中 $f$ 把世界点变到相机坐标系，$g$ 是针孔投影。像素对 $\mathbf p$ 的雅可比是？

链式法则：后做的 $g$ 在左边，而且要在 $f(\mathbf p)$ 处求值。选项 C 把求值点弄错了，选项 A 顺序反了（维度通常也对不上：$J_g$ 是 2×3，$J_f$ 是 3×3）。

9延伸阅读

K. Lynch & F. Park, Modern Robotics, Ch. 5 — 速度运动学与静力学（机械臂雅可比、奇异性、可操作度椭球）
Khan Academy, Multivariable Calculus — Grant Sanderson（3Blue1Brown）讲解的"局部线性"与"雅可比矩阵"系列视频
G. Strang, Calculus (MIT OpenCourseWare) — 偏导数、链式法则与重积分换元
S. Thrun, W. Burgard & D. Fox, Probabilistic Robotics, Ch. 3.3 — 扩展卡尔曼滤波中的雅可比线性化
J. Nocedal & S. Wright, Numerical Optimization, Ch. 8 & 10 — 有限差分求导、Gauss-Newton 与 Levenberg-Marquardt