Part I · 第 3 章多元与向量微积分 · 3.4

机器人雅可比

关节在转，手爪怎么动？反过来，想让手爪以某个速度走，关节该转多快？手爪要推一个物体，各个关节要出多大力矩？这三个问题共用同一个矩阵：机械臂雅可比。它的每一列都有一个朴素的几何含义：关节到手爪的"杠杆臂"转 90°。看懂这一点，奇异位形、可操作度椭圆、力与速度的对偶、数值逆运动学就都顺理成章了。

约 30 分钟前置：1.12 SVD · 1.13 最小二乘与伪逆 · 3.3 雅可比 5 个交互

1为什么机器人需要它

用遥操作手柄或者视觉伺服去控制机械臂，你想要的是"手爪朝这个方向、以这个速度走"，电机能听懂的却是"每个关节转多快"。中间的翻译官就是雅可比 $J(\boldsymbol\theta)$：

速度运动学：$\mathbf v = J(\boldsymbol\theta)\,\dot{\boldsymbol\theta}$，关节速度 → 手爪速度。
微分/数值逆运动学：$\dot{\boldsymbol\theta} = J^{+}\mathbf v$，手爪速度 → 关节速度。每一步迭代都要解一次。
静力学：$\boldsymbol\tau = J^\top \mathbf F$，手爪受力 → 关节力矩。力控制、阻抗控制、接触力估计都靠它。
奇异性与可操作性：$J$ 什么时候"失去一个方向"？手臂在哪些姿态下又快又灵活？

3.3 节已经说过雅可比是局部线性变换，并且对两连杆臂做了求导。这一节换一个角度：不求导，直接从几何出发造出雅可比，然后用它搭一个能用的逆运动学求解器。（等到 5.10 节学了指数积公式，会看到同样的结构在三维中的推广。）

2直觉：一次只转一个关节，手爪画一段圆弧

考虑平面内的串联臂，每个关节都是转轴垂直于纸面的转动关节。先只转第 $i$ 个关节，其余关节锁住：位于第 $i$ 个关节之后的整条手臂变成一个刚体，绕关节 $i$ 的转轴转动，手爪自然绕这个轴心画一段圆弧。圆弧的半径，就是关节 $i$ 到手爪的距离 $\|\mathbf r_i\|$，其中 $\mathbf r_i = \mathbf p_{\text{tip}} - \mathbf p_i$，称为杠杆臂。

刚体绕定轴转动时，距离轴心 $r$ 的点速度大小是 $\omega r$，方向垂直于杠杆臂。平面里"垂直"有一个现成的算子：把 $\mathbf r$ 逆时针转 90°，即 $\hat{\mathbf z}\times\mathbf r = (-r_y,\;r_x)$。所以关节 $i$ 以单位角速度转动时，手爪的速度就是

$$ \mathbf J_i \;=\; \frac{\partial \mathbf p_{\text{tip}}}{\partial \theta_i} \;=\; \hl{z}{\hat{\mathbf z}\times}\;\hl{lever}{\big(\mathbf p_{\text{tip}} - \mathbf p_i\big)} \;=\; \begin{bmatrix} -(y_{\text{tip}} - y_i) \\ \;\;x_{\text{tip}} - x_i \end{bmatrix}. $$

下图是一条三连杆臂。选一个关节，看它的杠杆臂（虚线）、手爪走的圆弧，以及速度箭头 $\mathbf J_i$。拖动关节上的圆圈改变姿态，箭头始终垂直于虚线，长度等于虚线的长度。

FIG 1杠杆臂与单关节速度

三个关节分别用红、绿、蓝表示（后面雅可比的三列也用同样的颜色）。粗弧线是只转这个关节 ±0.5 rad 时手爪的轨迹；实心箭头是单位角速度下手爪的速度 $\mathbf J_i$，暗淡的箭头是另外两列（箭头均按 0.6 倍长度绘制）。拖动圆圈：关节 $k$ 处的圆圈决定第 $k$ 根连杆的朝向。

依次选中三个关节，观察红、绿、蓝箭头：离手爪越远的关节，箭头越长。
把手臂折回，让关节 2 的箭头比关节 3 的更短。关节 3 的箭头长度永远等于什么？

核心洞见

雅可比的第 $i$ 列 = 把关节 $i$ 到手爪的杠杆臂转 90°。转得越"外面"的关节杠杆臂越长，对手爪速度的贡献越大；手爪每个时刻的速度，就是各关节贡献的叠加：$\mathbf v = \sum_i \dot\theta_i\,\mathbf J_i$。

3动手玩：关节速度的叠加

现在三个关节同时转。用滑块给出关节角速度 $\dot\theta_1,\dot\theta_2,\dot\theta_3$：红、绿、蓝箭头是 $\dot\theta_i\mathbf J_i$，首尾相接地从手爪出发，终点连成的琥珀色箭头就是手爪的速度 $\mathbf v$。紫色虚线是"按这个速度真实运动一小段时间"时手爪走过的路径。因为雅可比只是一阶近似，时间越短，琥珀色预测与真实位置越贴合。

FIG 2速度叠加实验室

箭头按 1 s 的位移画出（单位 m/s 对应 1 m）。琥珀色空心圆圈是 $\mathbf p + \mathbf v\,T$，紫色路径是关节匀速转动 $T$ 秒、手爪的真实轨迹，终点的实心紫点是真实位置。读数里的"几何 − 数值"是用上面的杠杆臂公式算出的雅可比，与对 FK 做数值差分得到的雅可比的最大差，应当在 $10^{-10}$ 量级（极小）。

试一试

用三个滑块让手爪竖直向上运动：$v_y>0.6$，$|v_x|<0.04$。
切换成"2 连杆"。能否让手爪向任意方向运动？换成"3 连杆"，同样的手爪速度有几种关节速度组合？

注意：2 个关节、2 维速度，方程数等于未知数，解唯一；3 个关节、2 维速度，未知数比方程多一个，满足同一个 $\mathbf v$ 的关节速度有无穷多组，它们之间相差一个"手爪完全不动"的关节运动。这叫冗余，后面的逆运动学与零空间控制里会反复遇到。

4第二、第三视角：椭圆与力

可操作度椭圆与奇异位形

1.12 节说过：矩阵把单位圆变成椭圆，半轴就是奇异值。这里的"单位圆"是所有满足 $\|\dot{\boldsymbol\theta}\|\le 1$ 的关节速度，它在 $J$ 的作用下变成手爪速度的一个椭圆，即可操作度椭圆：椭圆越圆，手爪在各个方向上都同样灵活；椭圆被压扁成线段，说明某个方向上无论关节怎么转，手爪都走不动，这就是奇异位形。右图是 $J$ 的两个奇异值 $\sigma_1\ge\sigma_2$ 随肘部角度 $\theta_2$ 的变化曲线。

FIG 3可操作度椭圆

工作空间：|θ̇| ≤ 1 的速度椭圆

σ₁, σ₂ 随 θ₂ 变化

琥珀色椭圆的半轴是 $\sigma_1$、$\sigma_2$，方向是 $JJ^\top$ 的特征向量。右图中红线是 $\sigma_1$，绿线是 $\sigma_2$，竖直虚线标出当前的 $\theta_2$。2 连杆时 $\sigma_2$ 在 $\theta_2 = 0, \pm\pi$ 处降到 0。

用"2 连杆"，把手臂拉直，让 $\sigma_2<0.03$：椭圆变成一条线段。线段沿什么方向？
用"3 连杆"，把椭圆调成几乎正圆（$\sigma_1/\sigma_2<1.15$，读数里的 κ）。再试"2 连杆"：这组连杆长度下它最好只能到约 1.19（在 $\theta_2\approx\pm3\pi/4$），因为两连杆要做到严格正圆需要 $l_1=\sqrt2\,l_2$。

力的对偶：$\boldsymbol\tau = J^\top\mathbf F$

让手爪顶住一个物体、对它施加力 $\mathbf F$，各关节需要多大力矩来"撑住"？用虚功原理：手爪位移 $\delta\mathbf x = J\,\delta\boldsymbol\theta$ 时，手爪做的功 $\mathbf F^\top\delta\mathbf x$ 必须等于各关节做的功 $\boldsymbol\tau^\top\delta\boldsymbol\theta$。对任意 $\delta\boldsymbol\theta$ 成立，就得到 $\boldsymbol\tau = J^\top\mathbf F$。几何上更直观：$\tau_i = \mathbf J_i\cdot\mathbf F = \hat{\mathbf z}\cdot(\mathbf r_i\times\mathbf F)$，就是力 $\mathbf F$ 对关节 $i$ 的力矩。

于是同一个矩阵管着两件事：$J$ 把关节速度映到手爪速度，$J^\top$ 把手爪的力映到关节力矩。速度椭圆的长轴方向"容易动"，在这个方向上，同样的关节力矩只能撑起很小的力；速度椭圆的短轴方向"难动"，同样的力矩却能撑起很大的力。力椭圆（紫色）的半轴恰好是 $1/\sigma_i$：形状与速度椭圆互为倒数。

FIG 4手爪的力与关节力矩

τ₁

τ₂

τ₃

拖动琥珀色手柄设定手爪力 $\mathbf F$（1 m 对应 1 N），拖动关节圆圈改变姿态。红色竖线是关节力矩上限 $\tau_{\max}$，超限的力矩条变红。浅琥珀色椭圆是速度椭圆，紫色椭圆是力椭圆 $\{\mathbf F : \|J^\top\mathbf F\|\le 1\}$，半轴超过 4 N 的部分被截断。

让手爪力 $\|\mathbf F\|\ge 1$ N，而所有关节力矩都几乎为 0（$\|\boldsymbol\tau\|<0.12$）。提示：什么姿态下，沿着手臂推一把，关节完全不需要出力？

速度与力：一个矩阵，两个方向

$\mathbf v = J\dot{\boldsymbol\theta}$（关节 → 手爪）和 $\boldsymbol\tau = J^\top\mathbf F$（手爪的力 → 关节）。奇异位形下手爪沿某个方向"走不动"，同一个方向上手爪却能"顶得住"，结构本身承担了载荷，关节力矩为零：这是为什么伸直的手臂可以举很重的东西，也是为什么这样的姿态在力控制里不可靠，因为这个方向上对力几乎没有控制能力。

5再看数学

提示：把鼠标悬停在公式中带底色的符号上，FIG 1 中对应的元素会被高亮。

从正运动学求导，验证几何公式

$n$ 连杆平面臂，连杆长 $l_k$，第 $k$ 根连杆的绝对朝向 $\phi_k = \theta_1+\cdots+\theta_k$。手爪位置与关节 $i$ 的位置是：

$$ \mathbf p_{\text{tip}} = \sum_{k=1}^{n} l_k \begin{bmatrix}\cos\phi_k\\ \sin\phi_k\end{bmatrix},\qquad \mathbf p_i = \sum_{k=1}^{i-1} l_k \begin{bmatrix}\cos\phi_k\\ \sin\phi_k\end{bmatrix}. $$

$\theta_i$ 只出现在 $\phi_k$（$k\ge i$）里，且 $\partial\phi_k/\partial\theta_i = 1$，因此

$$ \frac{\partial\mathbf p_{\text{tip}}}{\partial\theta_i} = \sum_{k=i}^{n} l_k\begin{bmatrix}-\sin\phi_k\\ \cos\phi_k\end{bmatrix} = \hat{\mathbf z}\times\Big(\sum_{k=i}^{n} l_k\begin{bmatrix}\cos\phi_k\\ \sin\phi_k\end{bmatrix}\Big) = \hat{\mathbf z}\times\big(\mathbf p_{\text{tip}} - \mathbf p_i\big). $$

求导和杠杆臂两条路给出同一个结果。对 $n=2$ 就是 3.3 节的 $J = \begin{bmatrix}-l_1s_1-l_2s_{12} & -l_2s_{12}\\ l_1c_1+l_2c_{12} & l_2c_{12}\end{bmatrix}$；第二列只含 $l_2$，因为关节 2 之后只有一根连杆。

完整的平面雅可比与三维的推广

手爪的朝向 $\phi_n = \sum_i\theta_i$，对每个 $\theta_i$ 的偏导都是 1，即角速度 $\omega = \sum_i\dot\theta_i$。把位置和朝向合在一起，平面臂的完整雅可比是 $3\times n$ 的：

$$ \begin{bmatrix} v_x\\ v_y\\ \omega\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ci{\mathbf J_1} & \cj{\mathbf J_2} & \cdots & \mathbf J_n\\ \ci{1} & \cj{1} & \cdots & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot\theta_1\\ \dot\theta_2\\ \vdots\\ \dot\theta_n\end{bmatrix}, \qquad \mathbf J_i = \hat{\mathbf z}\times(\mathbf p_{\text{tip}}-\mathbf p_i). $$

三维空间里，每个转动关节有转轴方向 $\hat{\boldsymbol\omega}_i$ 和轴上一点 $\mathbf q_i$，对应的列是 $\begin{bmatrix}\hat{\boldsymbol\omega}_i\times(\mathbf p_{\text{tip}}-\mathbf q_i)\\ \hat{\boldsymbol\omega}_i\end{bmatrix}$：上半部分仍然是"转轴叉乘杠杆臂"，下半部分是转轴本身（1.8 节的叉积）；平移关节的列则是 $\begin{bmatrix}\hat{\mathbf a}_i\\ \mathbf 0\end{bmatrix}$，$\hat{\mathbf a}_i$ 是滑动方向。这就是 $6\times n$ 的几何雅可比，5.10 节会用 twist 把它写得更紧凑。

用 SVD 读椭圆

设 $J = U\Sigma V^\top$（1.12 节）。单位关节速度球 $\|\dot{\boldsymbol\theta}\|\le1$ 的像是速度椭圆，半轴为 $\sigma_i$，沿 $U$ 的第 $i$ 列。力椭圆 $\{\mathbf F:\|J^\top\mathbf F\|\le1\}$：因为 $\|J^\top\mathbf F\|^2 = \sum_i\sigma_i^2(\mathbf u_i\cdot\mathbf F)^2$，半轴是 $1/\sigma_i$，方向相同。常用的标量指标有：

$$ w(\boldsymbol\theta) = \sqrt{\det\!\big(JJ^\top\big)} = \sigma_1\sigma_2, \qquad \kappa(J) = \frac{\sigma_1}{\sigma_2}, \qquad \sigma_{\min}(J). $$

$w$ 是 Yoshikawa 可操作度，正比于椭圆面积；$\kappa$ 是条件数，等于 1 时椭圆是正圆（各向同性）；$\sigma_{\min}$ 衡量离奇异有多远。对 2 连杆，$J$ 是方阵，$w = |\det J| = l_1l_2|\sin\theta_2|$（3.3 节）。

逆运动学：从 $J^{-1}$ 到伪逆与阻尼最小二乘

目标位置 $\mathbf t$，当前手爪位置 $\mathbf p$，误差 $\mathbf e = \mathbf t - \mathbf p$。把 $\mathbf e$ 当作"想要的位移"，在当前姿态线性化（3.3 节），每一步解 $J\,\Delta\boldsymbol\theta\approx\mathbf e$，更新 $\boldsymbol\theta\leftarrow\boldsymbol\theta+\Delta\boldsymbol\theta$，重新计算 $J$，重复。解法有三种常见选择：

$$ \Delta\boldsymbol\theta = \underbrace{\alpha\,J^\top\mathbf e}_{\text{transpose}},\qquad \underbrace{J^{+}\mathbf e = J^\top(JJ^\top)^{-1}\mathbf e}_{\text{pseudo-inverse}},\qquad \underbrace{J^\top\big(JJ^\top+\lambda^2 I\big)^{-1}\mathbf e}_{\text{damped least squares}}. $$

伪逆（1.13 节）在 $J$ 行满秩时给出所有解里 $\|\Delta\boldsymbol\theta\|$ 最小的一个。它在奇异点附近出问题：$\|J^+\| = 1/\sigma_{\min}\to\infty$，关节被要求以极大速度转动。阻尼最小二乘（Nakamura–Hanafusa、Wampler）在 $JJ^\top$ 上加 $\lambda^2I$，等价于最小化 $\|J\Delta\boldsymbol\theta-\mathbf e\|^2+\lambda^2\|\Delta\boldsymbol\theta\|^2$：奇异值 $\sigma$ 对应的放大倍数从 $1/\sigma$ 变成 $\sigma/(\sigma^2+\lambda^2)$，最大不超过 $1/(2\lambda)$，用一点精度换取稳定。转置法不需要求逆，只是沿代价 $\tfrac12\|\mathbf e\|^2$ 的负梯度（3.2 节）$J^\top\mathbf e$ 走，收敛慢但永远安全，6.3 节会说明这正是梯度下降。

冗余与零空间

当 $n>2$（位置任务），$J$ 有非平凡零空间（1.6 节）：$J\mathbf n = \mathbf 0$ 的关节运动不改变手爪位置，称为自运动。$3$ 连杆臂的位置雅可比是 $2\times3$，零空间是一维的，方向可以用两行的叉积得到：$\mathbf n\propto\mathbf j_1\times\mathbf j_2$（$\mathbf j_k$ 是 $J$ 的第 $k$ 行，1.8 节）。一般地，所有解为

$$ \dot{\boldsymbol\theta} \;=\; J^{+}\mathbf v \;+\; \big(I - J^{+}J\big)\,\mathbf z,\qquad \mathbf z\ \text{arbitrary}. $$

第一项把任务完成，第二项把任意的"次要目标" $\mathbf z$（远离关节限位、躲避障碍、保持肘部朝上）投影到零空间里，不干扰主任务。

6机器人中的它：用雅可比做逆运动学

下图是真实的迭代流程：拖动目标（黄色菱形），三连杆臂每一步按所选方法计算 $\Delta\boldsymbol\theta$，直到误差足够小。右侧画出每次迭代的误差（对数坐标），可以比较三种方法。把目标拖到伸直的边界附近，看伪逆法发生什么；把目标拖出可达范围，看阻尼最小二乘如何"尽量靠近"。

底部的"自运动"按钮让手臂沿零空间运动：手爪纹丝不动，肘部却在扫过一圈。这是冗余机械臂能"绕开障碍物而不打断任务"的原因。

FIG 5雅可比逆运动学

误差 ‖e‖（对数）vs 迭代次数

每一步的关节增量长度被限制在 0.6 rad 以内（真实控制器的速度限幅）。伪逆法在 $\sigma_{\min}$ 很小时会"想"走很大的一步，读数里的"未限幅的步长"就是它；阻尼最小二乘的 $\lambda$ 可以用滑块调节。

用任意方法让误差降到 $10^{-3}$ 以下。
先把目标拖到可达范围边缘（半径略小于 2.3）并用"连续迭代"让手臂几乎伸直，再把目标拖到可达范围之外（半径大于 2.3）：选"伪逆"，看未限幅的步长有多大；然后换"阻尼最小二乘"重做同样的操作。
到达目标后点"自运动"，让手臂在手爪不动的情况下变形至少 1.5 rad（关节角的总变化）。

真实系统里

遥操作 / 末端笛卡尔控制：Franka、UR 等机械臂的笛卡尔速度模式，本质上每个控制周期（几百 Hz 到 1 kHz）都在算 $\dot{\boldsymbol\theta}=J^{+}\mathbf v$，并在奇异点附近加阻尼或减速。数值 IK 求解器（KDL、MoveIt 的 IK 插件等）都是上面三种方法的变体，再加关节限位与零空间次要任务。力控制与阻抗控制：用 $\boldsymbol\tau = J^\top\mathbf F$ 把期望的笛卡尔力变成关节力矩。接触力估计：反过来，从关节力矩估计手爪受力，需要求 $J^\top$ 的（伪）逆，在奇异方向上估计会失真。规划：采样式规划器常常用 $\sigma_{\min}$ 或可操作度 $w$ 避开奇异位形。

7常见误区

误区 1：忽略雅可比所在的坐标系

$\mathbf J_i$ 里的 $\mathbf p$ 是在某个坐标系里写的（基座系？工具系？）。基座系里的 $J$ 与工具系里的 $J$ 相差一个旋转（以及三维里的伴随变换，5.8 节）。把基座系的速度指令塞进工具系的雅可比，手爪会朝着奇怪的方向走。

误区 2：把一次计算的 $J$ 用于大步长

$J$ 随姿态变化，$\mathbf v = J\dot{\boldsymbol\theta}$ 只是瞬时关系。FIG 2 里把预览时间 $T$ 拉大，真实路径就会弯离直线预测。位移指令要拆成许多小步，每一步重新计算 $J$（FIG 5 正是这样做的）。

误区 3：直接求 $J^{-1}$

冗余臂的 $J$ 不是方阵，没有逆；方阵时在奇异点附近 $J^{-1}$ 的元素爆炸。工程里几乎总是用伪逆加阻尼（或 SVD 截断小的奇异值），并对关节速度限幅。$\|J\|$ 本身并不大，不代表 $J^{-1}$ 安全。

误区 4：混合不同量纲的行

完整雅可比的上半部分是 m/rad，下半部分是 rad/rad（无量纲）。对这样的 $6\times n$ 矩阵直接做 SVD 或求"可操作度"，数值取决于你用米还是毫米，没有物理意义。要么分别分析平移和旋转两块，要么先按任务给各行加权。

误区 5：奇异位形只在"工作空间边界"

伸直、折回确实发生在边界上，但许多机械臂（例如手腕三个轴中有两个共线的"万向节锁"）在工作空间内部也有奇异位形，手爪恰好经过时同样会出问题。路径规划必须检查沿途的 $\sigma_{\min}$，而不仅仅是起点和终点。

8小练习

1. 两连杆臂 $l_1=l_2=1$，姿态 $\boldsymbol\theta = (0,\ \pi/2)$。它的雅可比是？

手爪在 $(1,1)$，关节 1 在原点，关节 2 在 $(1,0)$。杠杆臂 $\mathbf r_1=(1,1)$，$\mathbf r_2=(0,1)$，各转 90°：$\mathbf J_1=(-1,1)$，$\mathbf J_2=(-1,0)$。所以 $J=\begin{bmatrix}-1&-1\\1&0\end{bmatrix}$，$\det J=1=l_1l_2\sin\theta_2$，与公式吻合。

2. 同样的臂与姿态，手爪向下压桌面，对桌面施加 $\mathbf F=(0,-10)$ N。关节需要输出的力矩 $\boldsymbol\tau$（单位 N·m）是？

$\boldsymbol\tau=J^\top\mathbf F=\begin{bmatrix}-1&1\\-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\-10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-10\\0\end{bmatrix}$。直观检查：手爪施加的力 $\mathbf F$ 对原点的力矩是 $\mathbf r_1\times\mathbf F = 1\cdot(-10)-1\cdot0=-10$；对肘部（$(1,0)$）的杠杆臂 $(0,1)$ 与力平行，力矩为 0。注意符号约定：$\mathbf F$ 是手爪施加给外界的力；若改问"撑住一个挂在手爪上的向下重物"，外力是 $\mathbf F_{\text{ext}}$，关节要输出 $-J^\top\mathbf F_{\text{ext}}=(10,0)$。

3. 平面 3 连杆臂只关心手爪位置（2 维），雅可比是 $2\times3$，非奇异时它的零空间有几维？

秩–零化度定理（1.6 节）：零空间维数 = 列数 − 秩 = $3-2=1$。这一维就是 FIG 5 里的"自运动"：关节在变，手爪不动。

4. 对冗余臂，$\dot{\boldsymbol\theta}=J^{+}\mathbf v$ 是满足 $J\dot{\boldsymbol\theta}=\mathbf v$ 的所有关节速度里的哪一个？

所有解是 $J^{+}\mathbf v$ 加上零空间里的任意向量；零空间向量与 $J^{+}\mathbf v$（它在 $J$ 的行空间里）正交，所以加上它们只会增大范数。伪逆给出的是最小范数解。

5. 手臂靠近奇异位形时，为什么常用阻尼最小二乘 $J^\top(JJ^\top+\lambda^2I)^{-1}$ 代替伪逆？

对奇异值 $\sigma$，放大倍数是 $\sigma/(\sigma^2+\lambda^2)$，当 $\sigma=\lambda$ 时取最大值 $1/(2\lambda)$。它并不改变真实的 $J$（真实的奇异性还在），也不比伪逆更精确（远离奇异点时两者几乎一样，近处它故意有一点偏差）。

9延伸阅读

K. Lynch & F. Park, Modern Robotics, Ch. 5 — 速度运动学与静力学：雅可比、奇异位形、可操作度椭球、力椭球
B. Siciliano, L. Sciavicco, L. Villani & G. Oriolo, Robotics: Modelling, Planning and Control, Ch. 3 — 微分运动学与静力学，几何雅可比、冗余度与零空间
S. R. Buss, Introduction to Inverse Kinematics with Jacobian Transpose, Pseudoinverse and Damped Least Squares Methods (2004) — 对三种迭代 IK 的简明比较，本节 FIG 5 的参照
T. Yoshikawa, Manipulability of Robotic Mechanisms, Int. J. Robotics Research 4(2), 1985 — 可操作度指标的出处
Y. Nakamura & H. Hanafusa, Inverse Kinematic Solutions with Singularity Robustness for Robot Manipulator Control, J. Dynamic Systems, Measurement, and Control 108, 1986 — 阻尼最小二乘用于奇异点附近的逆运动学