Part II · 第 7 章 结构与运动学 · 7.1

连杆、关节与自由度

机器人是一张图：节点是刚体（连杆），边是关节。动手写任何运动学公式之前，先学会数数：一个刚体有几个自由度，一个关节拿走几个，整台机器人还剩几个。这个数字决定了要装几台电机、末端能够到达怎样的位姿，也决定了一个多杆机构到底能不能动。

约 32 分钟 前置：5.1 位姿 · 5.3 SE(3) · 5.10 指数积 · 1.6 秩 5 个交互

    1为什么机器人需要它

    拿到一台新机器人，第一个问题常常是：它有几个自由度？UR5 是 6，Franka 是 7，SCARA 通常是 4，Delta 并联机器人是 3，Stewart 平台是 6，一只灵巧手有二十来个，一台人形机器人再加上"浮动基座"的 6 个，超过三十。这个数字背后是三个很实际的问题。

    末端需要几个？空间里一个刚体的位姿有 6 个数（5.3 节的 \(\SE\) 是 6 维的）。要让手爪到达任意位姿，至少需要 6 个互相独立的关节；只要把零件放到桌面上并转一个角度，4 个就够（这正是 SCARA 的设计理由）。要装几台电机？每个主动关节一台，被动关节没有。数少了，机器人会有一部分在晃动、不受控；数多了，白白增加重量和成本。这个机构能不能动？并联机器人和各种闭链机构，光看图常常分不出它是刚性的结构还是可以运动的机构，必须数。

    这一课没有重的公式。我们先在图上数，再把"数数"写成 Grübler 公式，把它理解成"每个关节从自由刚体手里扣掉一部分自由度"。接着你会看到这条公式在哪里会失灵，以及更诚实的定义：局部自由度就是关节螺旋轴矩阵的秩（接上 5.10 节的螺旋轴和 1.6 节的秩）。

    2直觉：关节是一条"允许与禁止"的规则

    先固定一个物体 A（地面，或者上一节连杆）。一个自由的刚体 B 在平面里有 3 个自由度 \((x,y,\theta)\)，在空间里有 6 个：3 个平移加 3 个转动，也就是 \(\SE\) 的 6 个维度。把 B 用一个关节连到 A 上，就是给 B 的运动立一条规则：这几个方向允许，其余方向禁止。允许的相对自由度个数记作 \(f\)，被禁止的个数就是约束数 \(c = 6 - f\)（平面里是 \(3-f\)）。

    工程里常见的关节只有六种。转动关节 R（铰链）与移动关节 P（滑轨）\(f=1\)；螺旋关节 H（螺母沿螺杆）也是 \(f=1\)，转角和平移被螺距 \(h\) 绑在一起；圆柱关节 C（转动加沿同一根轴的移动）和万向节 U（两根相交的垂直转轴）\(f=2\)；球关节 S（肩、髋、球头）\(f=3\)。下面的实验让 B 在每种关节的规则下运动。每个关节的运动都可以写成 5.10 节的螺旋轴 \(S_i\) 和指数映射 \(T=\Exp(S_1\theta_1)\Exp(S_2\theta_2)\cdots\)，图中紫色虚线就是此刻这些轴的位置。

    FIG 1关节动物园：B 相对 A 能怎么动
    拖动画面旋转视角
    连杆 A 固定（灰色底座与淡色坐标系）。连杆 B 是带"旗帜"的板，淡色影子是零位。紫色虚线是各关节轴当前的位置：第二根轴和第三根轴是被前面的关节带着走的（\(\operatorname{Ad}\) 作用于零位轴，5.8 节）。右侧的方块条：绿色是允许的相对自由度 \(f\)，红色是被禁止的约束 \(c=6-f\)。读数里的"轴的秩"是这些当前螺旋轴张成的空间的维数。
    试一试
    • 选螺旋关节，把螺距设为 \(h=0.5\)，再把 \(\theta\) 转满一圈（\(360^\circ\)）。B 沿轴前进了多少？它与读数里的 \(h\theta\) 一致吗？为什么只有一个滑块就够了？
    • 选球关节，把中间的角 \(\theta_2\) 设为 \(90^\circ\)。三根轴的秩掉到了 2，可是球关节的 \(f\) 仍然是 3，B 依然能转到任何朝向。这是怎么回事？（提示：5.2 节的万向锁。）
    关节\(f\)\(c\)等价的 1 自由度链例子
    转动 R15—机械臂肘部、门铰链
    移动 P15—直线电机、龙门架、Stewart 的电动缸
    螺旋 H15—丝杠与螺母、螺栓
    圆柱 C24R + P （同轴）能转的伸缩杆
    万向节 U24R + R （轴相交且垂直）传动轴十字节、云台
    球 S33R + R + R （轴交于一点）髋、肩、球头拉杆

    表的第四列是一个重要的简化：任何多自由度关节都可以看成零长度连杆连起来的 1 自由度关节串。万向节是两个轴相交的转动关节，球关节是三个。所以机器人里真正需要的零件只有 R 和 P（有时再加 H）：电机驱动的几乎都是 1 自由度关节。这也是机器人描述文件 URDF 只提供 revolute、continuous、prismatic、fixed、floating、planar 几种关节的原因：万向节和球关节要写成带"零质量连杆"的转动关节链。平面机构里只剩 R 和 P，每个 \(f=1\)、\(c=2\)。

    3动手玩：数自由度

    把机构画成一张图：每个刚体是一个节点（地面也是一个节点，并且要算进去），每个关节是连接两个节点的边。数出节点数 \(N\)、边数 \(J\)，再把每条边的 \(f_i\) 加起来。道理一句话就说完：除去地面，有 \(N-1\) 个活动刚体，各自有 \(\lambda\) 个自由度（空间 \(\lambda=6\)，平面 \(\lambda=3\)）；每个关节扣掉 \(c_i=\lambda-f_i\) 个。剩下的就是机构的活动度 (mobility)：

    $$ \hl{m}{m} \;=\; \lambda\,(\hl{N}{N}-1) - \sum_{i=1}^{\hl{J}{J}} \hl{c}{(\lambda-f_i)} \;=\; \lambda\,(N-1-J) + \sum_{i=1}^{J} f_i. $$

    这就是 Grübler–Kutzbach 公式（推导在第 5 节）。FIG 2 左边是机构的图（边上标着关节类型），右边是"预算表"：从 \(\lambda(N-1)\) 的总自由度出发，各类关节依次扣掉约束，剩下的绿柱是 \(m\)。点击预设，先在心里算一遍再看答案。

    FIG 2Grübler 计数器：图与预算
    运动学图：节点 = 刚体，边 = 关节
    自由度预算
    图中方块是地面，琥珀色圆点是末端平台（若有），边上的字母是关节类型（青色 \(f=1\)、绿色 \(f=2\)、紫色 \(f=3\)、琥珀色是 6 自由度的"自由关节"F）。右图：青色柱是 \(\lambda(N-1)\)，红柱是各类关节扣掉的 \(\sum c_i\)，最右一根是 \(m\)（绿：能动；琥珀：0，刚性结构；红：负数，"过约束"）。Grübler 数得出来的是公式的结果；"实际活动度"一栏是用别的办法（几何、数值秩）得到的真实值，两者不一致的几行，就是第 4 节要讲的例外。悬停公式里的符号，图中对应部分会高亮。
    试一试
    • 先自己算 6-UPS Stewart 平台：\(N=14\)（地面、平台、6 条腿各 2 节），\(J=18\)，\(\sum f_i=6\cdot2+6\cdot1+6\cdot3=36\)。再点预设对答案。6 个自由度，由 6 个移动关节驱动，一一对应。
    • 依次打开 6-SPS Stewart 与 Delta。Grübler 给出 12 和 9，大于平台真正能做的 6 和 3。多出来的是什么？（读数里的"被动/空转"一行。）
    • 打开 Bennett、Sarrus 或 双平行四边形 之一：公式给出 \(m\le0\)，似乎是刚性结构，可是"实际活动度"是 1。数出了错吗？（第 4 节解释。）

    闭链：一根曲柄带动整个机构

    串联机械臂的图是一条链，\(m=\sum f_i\)，没什么好数的。有意思的是闭链：图里有环。每多一个独立的环，就多一组闭合条件，吃掉 \(\lambda\) 个自由度。平面四连杆 (four-bar) 是最小的例子：\(N=4\)，\(J=4\)，4 个转动关节，\(m=3(4-1-4)+4=1\)。一个自由度，所以转动曲柄，其余的杆都跟着确定地运动。FIG 3 里拖动曲柄末端的紫色圆圈，机构的两种"装配方式"（对应回路方程两个解）可以用按钮切换。

    四连杆的 4 根杆长决定它的"性格"。Grashof 条件：最短杆 \(s\) 加最长杆 \(l\) 不超过另两根之和 \(p+q\) 时，至少有一根杆可以相对邻杆整圈转动；否则每一根都只能摆动（三摇杆）。再看最短杆是哪一根，就能区分曲柄摇杆、双曲柄、双摇杆。切换"五连杆"：把地面到末端的回路再加一根杆，\(m=2\)，需要两台电机，末端 E 扫出的就不再是一条曲线，而是一块面积。

    FIG 3闭链实验室：四连杆与五连杆
    四连杆：地面铰点 \(O_2,O_4\)，曲柄 \(a\)、连杆 \(b\)、摇杆 \(c\)。琥珀色曲线是固连在连杆上的点 P（可拖动）走出的耦合曲线，淡虚线是另一种装配方式下的曲线。曲柄转不动时说明走到了极限位置（画面和读数里都会标出"受阻"）。读数中的 \(\mu\) 是连杆与摇杆之间的夹角；\(\mu\to0^\circ\) 或 \(180^\circ\)（连杆与摇杆共线）是死点/折叠位置：把曲柄锁住，连杆与摇杆仍可发生一阶微小运动，即瞬时多出一个自由度。五连杆：拖动两个紫色圆圈，E 是两个圆的交点；淡点是 E 在所有 \((\varphi_1,\varphi_2)\) 下可达的区域。
    试一试
    • 在"曲柄摇杆"预设上，把曲柄长度 \(a\) 的滑块慢慢拉大，直到 Grashof 判定从"是"变成"否"。此时曲柄还能整圈转动吗？数值扫描与判据一致吗？
    • 选"三摇杆"，拖动曲柄直到它被卡住。这时 \(\sin\mu\approx0\)，速度比 \(\mathrm d\chi/\mathrm d\varphi\) 发生了什么？再选"平行四边形"，转到 \(\varphi=0^\circ\) 附近，观察"环路秩"。
    • 切换到"五连杆"，把两个曲柄都拖一拖。只拖一个，末端 E 走出一条曲线；两个一起拖，E 能去哪些地方？需要几台电机？

    4第二、第三视角：秩，以及公式的盲区

    自由度 = 秩

    数数是粗糙的，它假设每个约束都管用。更可靠的定义是局部的、线性代数的：在位形 \(\boldsymbol\theta\) 处，让每个关节单独转一点，末端的位姿各自朝哪个方向变化？这就是 5.10 节空间雅可比的各列 \(\operatorname{Ad}_{\Exp(S_1\theta_1)\cdots}S_i\)（当前位形下各关节轴的样子）。末端能朝多少个独立方向运动，就是这些列的秩。关节有 \(n\) 个，秩是 \(r\)，那么 \(n-r\) 个关节方向的运动是"白费力气"（1.6 节的零空间）。

    FIG 4 让你自己搭一条链：点击每个关节按钮，在转动/移动、三个方向之间循环，或设为"—"（拿掉）。矩阵是当前的 \(J_s\)，右图是它的奇异值。试试看：六个关节是不是总给你六个自由度？

    FIG 4自由度 = 螺旋轴矩阵的秩
    拖动画面旋转视角
    \(J_s\) 的奇异值
    3D 图：灰色粗线是连杆骨架，彩色虚线是各个关节当前的轴，琥珀点是末端。关节 1–3 的轴在肩，关节 4 在肘，关节 5–7 在腕。右图：\(J_s\) 的 6 个奇异值（条越短，该方向越难动）；红色条代表数值上为 0（低于 \(10^{-3}\)），即这个方向上末端无法瞬时运动。秩 \(r\) 就是非零奇异值的个数；\(r<6\) 说明末端有 \(6-r\) 个方向动不了。
    试一试
    • 载入"六个同向转轴"。六个关节，为什么秩只有 3？把关节按钮改成别的方向，看看秩怎样变化。
    • 载入"一般 6R 臂"，把第 6 个关节（腕部中间的 \(R_y\)；这个预设去掉了第 3 个）拖到 \(0^\circ\)：两根腕轴重合，秩从 6 掉到 5。把它稍微转开，秩立刻恢复。这是奇异位形（见 7.4）。再载入"7R 臂"：7 个关节，秩仍是 6，多出来的 1 个是什么？

    Grübler 的盲区：当约束并不独立

    公式假定每个关节拿走的自由度是"新的"。如果有些约束其实是同一个约束的重复，公式就会少数。最简单的例子是"双平行四边形"：两根等长的平行曲柄，上面装一根与地面平行的连杆，再在曲柄中间加第二根平行于地面的杆 CD。\(N=5\)，\(J=6\)，\(m=3(5-1-6)+6=0\)：公式说这是一个刚性结构。可是只要杆 CD 的长度恰好等于地面长度，CD 就始终与地面平行，没有给机构增加任何新约束，整个机构依然是 1 自由度。这就是过约束 (overconstrained) 机构。FIG 5 里把 CD 的长度偏差 \(\varepsilon\) 从 0 拉开一点，看会发生什么。

    FIG 5双平行四边形：公式说 0，真实是 1
    拖动紫色圆圈转动曲柄。红色是第 5 根杆 CD 的"应有长度" \(g+\varepsilon\) 与它两端铰点之间实际距离 \(g\) 的差：\(\varepsilon=0\) 时二者重合，曲柄想转就转；\(\varepsilon\ne0\) 时杆在每一个位置都要被拉长或压短 \(\varepsilon\)，只有靠杆的弹性变形才能动，没有变形余量的真实机构就是一个卡死的刚体。公式的"0"在 \(\varepsilon\ne0\) 时才是对的，\(\varepsilon=0\) 恰好是它的盲区。
    试一试
    • 把 \(\varepsilon\) 从 0 拉到 \(|\varepsilon|\ge0.1\)（\(g=2\)，只有 5%），读出杆内的应变。再拖曲柄，应变变化吗？现实中的机构靠什么容忍这样的误差？
    一个数字的三种求法

    记账：\(m=\lambda(N-1-J)+\sum f_i\)，只看节点数、边数和关节类型，不管几何尺寸，所以算得快，也会算错。数环：\(m=\sum f_i-\lambda L\)，其中 \(L=J-N+1\) 是图里独立环的个数，每个环吃掉 \(\lambda\) 个自由度；这和记账是同一个公式换了说法。算秩：\(m_{\text{local}}=n-\operatorname{rank}(A(\boldsymbol\theta))\)，\(A\) 是闭环约束的雅可比矩阵（对串联链，螺旋轴矩阵 \(J_s\) 的秩数的是末端能动的方向数，\(n-\operatorname{rank}J_s\) 是零空间维数，见 FIG 4）。它看的是真实的几何，所以不会被特殊尺寸骗到，也会如实反映奇异位形里"瞬时自由度"的变化。前两种是估计，第三种才是定义。

    5再看数学

    提示：把鼠标悬停在公式中带底色的符号上，FIG 2 中对应的部分会被高亮。

    自由度与约束

    自由度 (degree of freedom, DoF) 是完全确定机构位形所需的最少独立坐标个数。一个自由刚体：平面 \(\lambda=3\)（\(\mathrm{SE}(2)\)），空间 \(\lambda=6\)（\(\SE\)，5.3 节）。\(f\) 自由度的关节在 B 的位形空间里切出一个 \(f\) 维的子集，等价于 \(c=\lambda-f\) 个独立的位形约束。

    Grübler–Kutzbach 公式的推导

    地面固定，\(N-1\) 个活动刚体在不受约束时共有 \(\lambda(N-1)\) 个自由度。每个关节 \(i\) 带来 \(c_i=\lambda-f_i\) 个约束方程。若所有方程相互独立，则每个方程恰好消去一个自由度：

    $$ \hl{m}{m} = \lambda(\hl{N}{N}-1) - \sum_{i=1}^{\hl{J}{J}}\hl{c}{(\lambda-f_i)} = \lambda\,(N-1-J) + \sum_{i=1}^{J}\hl{f}{f_i}, \qquad \lambda=\begin{cases}6 & \text{spatial}\\ 3 & \text{planar}\end{cases} $$

    图的独立环个数是 \(L=J-N+1\)（圈秩，cyclomatic number），代入得 \(m=\sum f_i-\lambda L\)：每个独立回路吃掉 \(\lambda\) 个自由度。树形结构（\(L=0\)，所有串联臂、人形机器人去掉浮动基座后的树）没有环，\(m=\sum f_i\)，关节自由度直接相加。公式还有一个常被忽略的性质：方程之间若有依赖，真正独立的约束更少，解集的维数不会低于"未知数减去方程数"。所以只要机构能够装配起来，真实活动度\(\ge\)公式的值；公式给出 0 或负数，并不意味着机构一定动不了（FIG 5）。

    两个手算例子

    $$ \text{four-bar:}\quad m = 3\,(4-1-4) + 4\cdot 1 = 1, \qquad\text{6-UPS Stewart:}\quad m = 6\,(14-1-18) + \underbrace{6\cdot2}_{U}+\underbrace{6\cdot1}_{P}+\underbrace{6\cdot3}_{S} = -30+36 = 6. $$

    Stewart 平台：地面 + 平台 + 6 条腿 \(\times\) 2 节（缸筒与活塞杆）= 14 个刚体；每条腿 3 个关节（地面端 U，缸筒与活塞杆之间 P，平台端 S），共 18 个。把地面端的 U 换成 S（6-SPS，两端都是球关节）则 \(\sum f_i=6\cdot(3+1+3)=42\)、\(m=12\)：多出的 6 是每条腿绕自身轴线的空转，对平台的位姿毫无影响。

    活动度的局部定义：秩

    设位形用 \(n\) 个坐标 \(\mathbf q\) 描述，闭环等约束写成 \(g(\mathbf q)=0\)（这样的约束叫完整约束，holonomic，它们能积分成位形之间的代数关系）。在一点 \(\mathbf q\) 处，允许的速度满足 \(A(\mathbf q)\dot{\mathbf q}=0\)，\(A=\partial g/\partial\mathbf q\)。于是

    $$ m_{\text{local}}(\mathbf q) = n - \operatorname{rank}A(\mathbf q), \qquad m = \max_{\mathbf q}\, m_{\text{local}}\ \ \text{(generic mobility, if the solution set is a manifold)}. $$

    秩在特殊位形处下降，\(m_{\text{local}}\) 就在那里变大：这就是 FIG 3 里平行四边形折叠位置的"瞬时多出的自由度"（环路秩从 2 降到 1，3 个坐标减去秩，\(3-1=2\)）。串联臂也一样：\(\boldsymbol\theta\) 处末端能动的方向数是 \(\operatorname{rank}J_s(\boldsymbol\theta)\)（FIG 4），它在奇异位形处变小。两者方向相反，是因为一个数的是"约束掉多少"，另一个数的是"还能走多少"。形如 \(A(\mathbf q)\dot{\mathbf q}=0\) 的速度约束（例如冰刀、轮子不能侧滑）如果不能积分成位形约束，就是非完整约束 (nonholonomic)：它们减少可用的速度方向，却不减少可达位形的维数，这是 9.1 节的主题。

    关节自由度、任务自由度、冗余与欠驱动

    要区分三个数：机构的活动度 \(m\)（也就是需要几个独立坐标），任务的维数 \(d\)（末端要控制几个量：只定位是 3，定位加朝向是 6，平面里 3），主动关节数 \(n_a\)（几台电机）。它们的大小关系给出常见的几类机器人：

    条件名称例子与后果
    \(n_a=m\)全驱动工业机械臂：每个自由度都有电机，可以直接指令加速度（Part IV 的计算力矩控制）
    \(n_a<m\)欠驱动带浮动基座的人形与足式机器人（6 个自由度没有电机）、四旋翼（6 自由度，4 个旋翼）、Acrobot。必须借助动力学和接触力来"间接驱动"
    \(n_a>m\)冗余驱动多腿并联机器人（3 自由度用 4 条腿）：可以消除奇异位形、产生内部预紧力，代价是电机之间必须协调
    \(m>d\)运动学冗余7R 臂做 6 维任务：同一个末端位姿对应一条 \(m-d=1\) 维的关节位形曲线（自运动），3.4 节的零空间
    \(m<d\)任务无法完全控制5 自由度机械臂做 6 维位姿：只能到达位姿集合里一个"零测度"的子集

    为什么是 6，为什么是 7

    串联臂的正运动学是一个光滑映射 \(F:\mathbb R^n\to\SE\)，\(\SE\) 是 6 维的。若 \(n<6\)，像集的维数不超过 \(n\)，在 \(\SE\) 里测度为 0（Sard 定理）：绝大多数位姿够不到。\(n=6\) 时，在秩为 6 的位形附近 \(F\) 是局部的满射，每个位姿有有限个原像，也就是有限个逆运动学解（一般的 6R 最多 16 个，7.5 节）。\(n=7\) 时每个位姿的原像是一条一维曲线，即上表中的运动学冗余。6 是"够用的最小值"，7 是"多出一个可调节的维度"，代价是更多的关节与更复杂的控制。

    浮动基座

    足式机器人和人形机器人没有固定在地面上。把"世界"当作地面，机身通过一个自由关节 (free joint，\(f=6\)，\(c=0\)) 连到世界：FIG 2 里的"人形"预设就是这样，\(m=6+30=36\)，但只有 30 台电机。这 6 个无电机的自由度正是欠驱动：机身的运动完全由腿与地面的接触力决定（9.2 节）。MuJoCo 和 Pinocchio 都用 7 个数描述自由关节的位形（位置加单位四元数），速度只有 6 维：位形坐标的个数不等于自由度，这正是下一课 7.2 节的内容。

    6机器人中的它：架构怎么选

    每一种常见的机器人构型，都是对"数出来的自由度"的一个回答：任务需要几个自由度，就给几个，再用构型换取速度、刚度、负载或成本。

    机器人结构自由度为什么这样设计
    工业 6R 臂（UR5e、ABB IRB、KUKA KR）6 个转动关节6恰好够到达任意位姿；许多型号的腕部三轴相交（球腕），使逆运动学有解析解
    7R 协作臂（Franka Panda、KUKA LBR iiwa）7 个转动关节7任务 6 维，多 1 个自运动维度：躲障碍、避开关节极限和奇异位形
    SCARAR-R-P-R4装配、搬运只需要 \((x,y,z,\text{yaw})\)；水平方向柔顺、竖直方向刚硬，速度快、便宜（FIG 4 里的预设，秩为 4）
    Delta（Clavel 1988；ABB FlexPicker）3 个基座电机 + 3 组平行四边形杆3（平移）电机都在底座，运动部分极轻，每分钟可抓取上百次；平行四边形使平台始终不转。工业型号常再加一根伸缩中轴给出第 4 个转动自由度
    Stewart–Gough 平台6-UPS6六条腿共同承载，刚度和负载比串联臂高得多，用于飞行模拟器和精密定位台；代价是工作空间小
    四足机器人（如 Boston Dynamics Spot）每腿 3 个电机，浮动基座12 个驱动 + 6 个无驱动三个关节足以把脚放到腿部工作空间内的任意点；机身的 6 个自由度靠足底接触力控制
    全尺寸人形（如 Unitree H1）19 个驱动关节，浮动基座19 个驱动 + 6 个无驱动每条腿 5 个、每条手臂 4 个、腰部 1 个；手臂自由度少于人类的 7，是成本与任务需要之间的折衷
    灵巧手（Shadow Hand、Allegro Hand）多指，每指 3–4 个关节Shadow：24 个关节中 20 个有独立驱动；Allegro：16操作一个自由物体（6 维位姿）需要的接触与关节远多于 6，且指尖之间形成闭链（9.3 节）
    人的手臂肩 3 + 肘 1 + 前臂旋转 1 + 腕 27与 7R 协作臂同样的冗余：手固定不动，肘部仍能画圆
    真实系统里

    URDF 描述的是一棵树：每个关节有一个父连杆和一个子连杆，所以闭链机构（四连杆、Delta、Stewart、手加物体）无法直接表达。仿真器的通行做法是把环"剪开"，再加一个约束把断口接回去：MuJoCo 的 equality 里的 connect 去掉 3 个自由度（球关节的闭合），weld 去掉 6 个，这正是上面"每个环吃掉 \(\lambda\) 个自由度"的数值实现。Pinocchio 和 MuJoCo 的浮动基座都是 7 维位形、6 维速度的自由关节；URDF 用 floating 关节类型，SDF（Gazebo）还提供 ball、universal、screw 等多自由度关节类型。并联机器人和串联臂的难易正好相反：Stewart 平台由位姿求六条腿的长度有闭式解（逆运动学很容易），而由腿长求位姿（正运动学）是一个多项式方程组，一般的 Stewart 平台最多有 40 组解，只能数值求解。这就是闭环的代价。

    7常见误区

    误区 1：漏掉地面与被动关节

    \(N\) 里必须算上地面：四连杆是 4 个刚体，不是 3 个。被动关节（没有电机的铰点）和主动关节一样占约束、占自由度，也要进 \(\sum f_i\)；它们的运动是机构自己"决定"的，不需要电机，但仍然是活动度的一部分。反过来，连杆两端都是球关节时，杆绕自身轴线的空转也是一个自由度，公式会如实数出来（6-SPS 给 12，Delta 给 9）。数出的 \(m\) 要拿去和"平台真正有几个自由度"、"需要几台电机"分开对照，两者不一定相等。

    误区 2：把 Grübler 当成定理

    它只是依赖"约束独立"这一假设的估计，是活动度的下界。Bennett 四杆机构（1903）是 4 个转动关节的空间闭环，公式给 \(6(4-1-4)+4=-2\)，它却能运动，活动度为 1，条件是杆长和扭角满足 \(a_{12}=a_{34}\)、\(a_{23}=a_{41}\)、\(\alpha_{12}=\alpha_{34}\)、\(\alpha_{23}=\alpha_{41}\) 并且 \(a_{12}/\sin\alpha_{12}=a_{23}/\sin\alpha_{23}\)；Sarrus 机构（6 个转动关节，两条腿）公式为 0，实际为 1，可以让平台沿一条直线平移。这些都是过约束机构：特殊尺寸使一部分约束重复了。它们在工程里真的用，但对加工精度极其敏感：尺寸偏一点（FIG 5 的 \(\varepsilon\)），机构就卡死。

    误区 3：关节数 = 末端自由度

    六个关节可以只给末端 3 个自由度：六个转轴全部平行时（FIG 4 的预设），末端只能在一个平面内平移并绕垂直轴转动，秩为 3。关节轴重合、共线、平行都会制造这样的"重复"。反过来，SCARA 只用 4 个关节就给出 \((x,y,z,\text{yaw})\) 这 4 个对装配最有用的自由度。7R 臂的末端自由度仍是 6，而不是 7。设计时要数的是末端能向多少个独立方向运动，也就是秩，而不是关节的个数。

    误区 4：自由度告诉你"有几个"，不告诉你"能到哪里"

    活动度是一个维数，不是大小和形状。6 自由度臂的可达工作空间（5.10 节用采样画过）仍然受杆长、关节限位和自碰撞限制；一个 6R 臂也不能把手爪放到每一个想要的位姿上，更不能在所有位置上都灵巧。反过来，两个同样是 6 自由度的机器人（串联臂与 Stewart 平台）工作空间的大小、刚度与负载能力可以差几个数量级。同一个位姿对应多少个逆运动学解，也不能从自由度读出来，那要看具体的几何（7.5 节）。

    误区 5：奇异位形里的"局部自由度"也会变

    机构的活动度 \(m\) 是整体的、通用的数；局部自由度 \(m_{\text{local}}\) 会随位形而变。6R 臂的腕部奇异位形里 \(\operatorname{rank}J_s=5\)：此刻有一个方向动不了，而你说"这是 6 自由度臂"仍然是对的。四连杆在折叠位置反过来，瞬时多出一个自由度，控制器不再能确定下一步往哪里走。另外要分清位形坐标的个数与自由度：四元数用 4 个数表示 3 维的转动，关节角相差 \(2\pi\) 是同一个位形，浮动基座是 7 个数 6 个自由度，这些在 7.2 节处理。

    8小练习

    1. 一个平面五连杆：地面加 4 个活动杆，由 5 个转动关节首尾相接成环。它的活动度是？
    平面 \(\lambda=3\)，\(N=5\)（含地面），\(J=5\)，\(\sum f_i=5\)：\(m=3(5-1-5)+5=2\)。需要两台电机，末端扫出的是一块面积（FIG 3）。选 A（1）的人把四连杆的结果套了过来；选 C（3）忘了每个环要吃掉 3 个自由度。
    2. 一台 7R 机械臂要把手爪放到一个给定的 6 维位姿。满足这个位姿的关节位形构成怎样的集合（在非奇异处）？
    \(F:\mathbb R^7\to\SE\) 在秩 6 处，原像的维数是 \(7-6=1\)，即一条曲线：保持手爪不动，肘部可以绕圈（人的手臂同理）。选项 B 是 6R 的情形。
    3. 6-SPS Stewart 平台的 Grübler 计数是 12，可是平台只有 6 个自由度。多出的 6 是什么？
    腿的两端都是球关节时，腿可以绕它两端连线转动，这对平台毫无影响，却是机构的真实活动度：公式没有错，是它数得诚实。电机位置是那 6 个"有用"自由度的一部分（选项 C 把它们数进去了）。换成 UPS，万向节不允许腿空转，\(m=6\)。
    4. Bennett 机构有 4 个转动关节的空间闭环，Grübler 给出 \(-2\)，可是它会动。最恰当的解释是？
    公式用的是通用情形下的方程个数，没有看矩阵的实际秩。几何条件特殊时，约束雅可比的秩掉了，活动度 = 变量数 − 秩 就变大。选项 A 不对：这里恰恰是空间机构（平面的例子是 FIG 5 的双平行四边形）。D 描述的是现实中的松动，不是理想机构的性质。
    5. 四连杆的杆长是：地面 6、曲柄 2、连杆 3、摇杆 4。曲柄能整圈转动吗？
    Grashof 条件要求 \(s+l\le p+q\)。这里 \(8>7\)，是三摇杆。曲柄最短不是充分条件：必须同时满足 Grashof。在 FIG 3 里选"三摇杆"预设，会看到曲柄很快被卡住。

    9延伸阅读

    • K. Lynch & F. Park, Modern Robotics, Ch. 2 (Configuration Space) — 刚体与机器人的自由度、关节类型、Grübler 公式、完整与非完整约束；本课的记号与之一致
    • B. Siciliano, L. Sciavicco, L. Villani, G. Oriolo, Robotics: Modelling, Planning and Control, Ch. 1–2 — 机械结构、关节与自由度、工作空间、运动学冗余
    • R. Murray, Z. Li, S. Sastry, A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation, Ch. 3 — 机械臂运动学，包括冗余臂与并联机构（Stewart 平台）的活动度
    • G. Gogu, "Mobility of mechanisms: a critical review", Mechanism and Machine Theory 40(9), 2005 — 对各种活动度公式及其例外（过约束机构）的综述
    • R. Clavel, "Delta, a fast robot with parallel geometry", Proc. 18th Int. Symp. on Industrial Robots, Lausanne, 1988 — Delta 机器人的出处
    • D. Stewart, "A platform with six degrees of freedom", Proc. Institution of Mechanical Engineers 180(1), 1965 — Stewart 平台的出处
    • C. Gosselin & J. Angeles, "Singularity analysis of closed-loop kinematic chains", IEEE Trans. Robotics and Automation 6(3), 1990 — 闭链的三类奇异位形（FIG 3 的"死点"是其中之一）
    • R. Norton, Design of Machinery, Ch. 2 — 四连杆、Grashof 条件、传动角与死点的教科书讲法

    下一课 7.2 构型空间 会处理"位形坐标的个数 ≠ 自由度"；7.3 正运动学 与 7.4 速度运动学 把本课的螺旋轴矩阵变成雅可比；足式与人形的浮动基座见 9.2，灵巧手见 9.3。