Part II · 第 9 章机器人形态 · 9.3

抓取与灵巧手

机械臂把手送到物体旁边，真正决定物体拿不拿得住的，是手指放在哪里。每个接触点只能给出一个落在摩擦锥里的力，几个接触点的力合起来，能不能抵抗来自任何方向的力和力矩？这就是力封闭。本节从一个接触点的摩擦锥出发，用 wrench 空间里的凸包判断力封闭，用 Ferrari–Canny 指标 ε 给抓取打分，推出两指对跖（antipodal）条件，再看抓取矩阵与手部雅可比如何把关节力矩变成物体上的合力与"挤压"内力，最后看 Dex-Net 一类学习方法怎样大规模给抓取打分。

约 35 分钟前置：1.6 秩与零空间 · 6.2 凸性 · 7.6 静力学与 wrench · 8.4 接触与摩擦 5 个交互

1为什么机器人需要它

"拿起来再放下"是几乎所有操作任务的第一步，而它比看上去难：手指落点稍有不同，物体就可能在手里打转、滑落，或者被一个小扰动（碰到料箱壁、手臂加速）甩出去。抓取要回答的是一个静力学问题：手指放在哪里、用多大的力捏，物体才无论受到什么样的外力和外力矩都不会脱手？

抓取合成：给定物体形状，找出一组接触点，使抓取是"力封闭"的，并且尽可能稳。
抓取评分：几千个候选抓取里挑哪一个？需要一个数来衡量"这个抓取有多抗扰"（Ferrari–Canny 的 ε）。Dex-Net 一类的学习方法，本质上是在学习这个分数。
手的设计与控制：夹爪只要一个自由度，灵巧手要十六到二十四个。自由度多了能做手内操作（in-hand manipulation），代价是传感器、驱动和控制的复杂度。关节力矩怎样变成指尖力，指尖力怎样合成物体上的 wrench，靠的是 3.4 节的 $\boldsymbol\tau=J^\top\mathbf F$ 再加一个新矩阵：抓取矩阵 $G$。

本节只处理准静态、刚体、点接触的情形：物体不加速，接触不变形。这个模型很简单，却解释了夹爪为什么要有橡胶指垫、为什么对跖的两指夹得住而斜着夹不住、为什么三指能抓圆盘。（8.4 节讲接触与摩擦本身，这里只用它的结论：摩擦锥。）

2直觉：一个接触点 = 一个力的锥

手指按在物体上，手指给物体的接触力有三条规矩：只能推不能拉（法向分量 $f_n\ge0$）；切向力不能大于 $\mu f_n$（库仑摩擦）；方向由接触点的法向决定。把"所有允许的力"画出来，就是一个以内法向为轴、半角 $\varphi=\arctan\mu$ 的摩擦锥。锥里的任何力都是它两条边的非负组合：$\mathbf f=\alpha_+\mathbf e_++\alpha_-\mathbf e_-$，$\alpha_\pm\ge0$。

力还会产生力矩。物体上相对于参考点 $\mathbf c$（取质心）的受力点 $\mathbf p$，力 $\mathbf f$ 产生力矩 $m=(\mathbf p-\mathbf c)\times\mathbf f$（1.8 节的叉积）。把力矩放前面，得到平面里的 wrench $\mathbf w=(m/\rho,\ f_x,\ f_y)$，三维空间中的一个点（和 7.6 节一致：wrench 力矩在前，力矩除以一个特征长度 $\rho$ 是为了让三个分量量纲一致）。这样，一个摩擦锥就变成 wrench 空间里由两个"边 wrench" $\mathbf w_\pm$ 张成的一个二维扇形。左图是物体上的接触，右图是它在 wrench 空间里的样子，两个图用同一个滑块联动。

FIG 1一个接触点的摩擦锥与它的 wrench 扇形

物体与接触点

wrench 空间 (m/ρ, fx, fy)，拖动旋转

拖动物体边界上的圆圈移动接触点，拖动琥珀色手柄设定手指施加在物体上的力 $\mathbf F$。绿色扇形是摩擦锥，两条紫、蓝边是 $\mathbf e_\pm=\mathbf n\pm\mu\mathbf t$（法向分量归一为 1）。右图中同样的两条边是 wrench $\mathbf w_\pm$，绿色扇形是锥在线性映射 $\mathbf F\mapsto\mathbf w$ 下的像；$\mathbf F$ 在锥内，当且仅当它的 wrench（琥珀色箭头 $\mathbf w(\mathbf F)$，出锥时变红）落在扇形内。

试一试

把力 $\mathbf F$ 拖到锥外面：箭头变红，读数显示"打滑"。再把它拖成背向物体（拉）的方向，看会发生什么。
保持一个打滑的 $\mathbf F$ 不动，增大 $\mu$（粗糙的指垫），直到它重新落进锥里。需要的 $\mu$ 等于什么？
把 $\mu$ 调到 0：锥缩成一条线，右图的扇形缩成一条射线。没有摩擦的接触只能提供什么？

核心洞见

一个摩擦接触提供的 wrench 集合是一个凸锥：所有"边 wrench"的非负组合。几个接触叠加，就是把这些锥相加（Minkowski 和），也是所有边 wrench 的非负组合。抓得牢不牢，归结为一个几何问题：这堆边 wrench 的非负组合能不能铺满整个 wrench 空间？

3动手玩：平面力封闭实验室

现在放 2 到 4 个接触点。每个接触点贡献两条边 wrench，一共 $2k$ 个点散在右图的 wrench 空间里。力封闭的意思是：这些边 wrench 的非负组合覆盖整个 wrench 空间，也就是它们的凸包把原点严格包在里面（1.6 节与 6.2 节：非负组合的集合是凸锥，覆盖整个空间等价于凸包包住原点）。直觉：原点在凸包内部，说明总能挑出一组接触力，抵消任意方向的外力和外力矩。

右图里的透明多面体就是凸包。如果原点在里面，它周围能放下一个最大的球，球半径就是 Ferrari–Canny 质量 $\varepsilon$：这个抓取在每一个方向上，都至少能抵抗大小为 $\varepsilon$ 的外 wrench（接触法向力的总和限制为 1）。红色箭头画在物体上，是抓取最抵抗不了的那个外 wrench：它是一个沿某条作用线的力（或者一个纯力矩）。

FIG 2力封闭实验室

物体：拖动接触点

wrench 空间中的凸包

预设

圆圈是接触点，彩色扇形是各自的摩擦锥。右图的点是边 wrench（颜色对应接触点），透明多面体是它们的凸包，中心的实心小圆点是原点，绿色线框球半径等于 $\varepsilon$。抓取不封闭时凸包不包住原点，读数给出原点到凸包的距离。读数里的"采样"是对 20000 个方向取 $\min_{\mathbf d}\max_i\mathbf d\cdot\mathbf w_i$ 的独立数值核对，它总是略大于精确值，方向越多越接近。力矩用 $\rho$（物体边界到质心的最大距离）归一化，参考点取质心。

试一试

点"两指对跖"预设，再把一个接触点沿边拖开：只用两个点接触就能力封闭吗？什么时候开始不封闭？
在圆盘上放三个接触点对称分布（用"圆盘三指"预设）：读数 $\varepsilon$ 正好等于 $\mu$。拖动一个点远离对称位置，$\varepsilon$ 如何变化？
令 $\mu=0$、4 个接触点，在矩形上找到一个封闭抓取（"形封闭"预设）。摩擦为 0 时，3 个接触点能封闭吗？为什么？（提示：3 个向量能正张成整个 3 维空间吗？）

三种说法，一个条件

力学：抓取能抵抗任意外 wrench。代数：边 wrench 正张成 $\mathbb R^3$（平面）或 $\mathbb R^6$（空间）。几何：边 wrench 的凸包以原点为内点。FIG 2 里同时看得到三者：红箭头所指的外 wrench 能否被抵消（封闭时能，不封闭时不能）、多面体是否包住原点、读数是否显示"封闭"，三者永远一致。

4第二、第三视角：对跖条件与手

两指对跖：一条线落在两个锥里

最常见的夹爪只有两个接触点。FIG 2 的 2 指实验已经暗示了答案，Nguyen（1988）给出了干净的定理：两个带摩擦的点接触构成平面力封闭，当且仅当两接触点的连线落在两个摩擦锥内，即连线与各自内法向的夹角都小于 $\varphi=\arctan\mu$。这样的一对点称为对跖（antipodal）。物理上很自然：沿连线两头相向捏，每个指尖的力都在锥里，两个力大小相等方向相反，合力为零，且作用线重合，合力矩也为零。

下面用椭圆（任何光滑曲线都一样）看这个条件。左图拖动两个接触点；右图是点对空间：横轴是接触点 1 的位置参数 $\theta_1$，纵轴是接触点 2 的 $\theta_2$，绿色区域是所有封闭的点对。拖动右图的圆点同样会移动左图的接触点。增大 $\mu$，绿色区域从椭圆长短轴端点处的几个小点长大成越来越宽的带。令 $\mu=0$，区域缩到测度为零。

FIG 3对跖抓取与点对空间

椭圆上的两个接触点

点对空间 (θ₁, θ₂)：绿 = 封闭

左图：虚线是两接触点的连线，$\alpha_1,\alpha_2$ 是连线与各自内法向（青色短线）的夹角，绿色表示 $\alpha_i<\varphi$，红色表示不满足。右图的绿色区域用定理逐点判定（120×120 个格子），读数里的"封闭比例"是绿格占全部格子的比例。右图的虚线是 $\theta_2=\theta_1+\pi$（椭圆参数意义下的"对面"）。点对关于对角线对称，因为交换两个手指不改变抓取。

试一试

令 $\mu\le0.25$，把两个接触点拖成一个封闭对。注意绿色区域有多小：低摩擦下，两指必须几乎正对着夹。
把 $\mu$ 增到 0.9 以上，让封闭比例超过 30%。橡胶指垫的 $\mu$ 能到 1 左右，光滑金属指尖只有 0.2 到 0.3。
点"μ = 0"：无摩擦时，只有两个接触点恰好沿共同法线正对（椭圆的长、短轴端点）才有机会，但这时抓取仍不封闭。为什么？

形封闭与力封闭

摩擦并不总是可靠的（油、水、不同材质）。如果去掉摩擦，单靠几何把物体"卡死"，叫形封闭（form closure）。无摩擦接触只提供一条法向射线，每个接触只给一个 wrench，要在 $n$ 维 wrench 空间里正张成，至少要 $n+1$ 个：平面（$n=3$）至少 4 个接触点，空间（$n=6$）至少 7 个。这正是 FIG 2 里 $\mu=0$ 时 3 个点无论怎样放都封闭不了的原因。摩擦换来更少的接触：平面 2 个，空间 3 个就够了。形封闭的优点是抓取不依赖摩擦系数，缺点是需要更多手指、形状要配合，而且圆盘、球这类旋转对称的物体，无摩擦接触永远无法约束它绕自己转动（FIG 2 里的 $\mu=0$ 圆盘）。

从关节力矩到物体：抓取矩阵与手部雅可比

前面的 $\mathbf F$ 是凭空出现的。真实的手靠关节电机出力，两个矩阵把这条链连起来：手部雅可比 $J_h$（3.4 节：$\boldsymbol\tau=J_h^\top\mathbf f$，每根手指一个 $J$）和抓取矩阵 $G$（指尖力 → 物体 wrench，$\mathbf w=G\mathbf f$）。$G$ 是 $3\times 2k$（$k$ 个接触点），比方程数多得多的未知数让它有零空间（1.6 节）：零空间里的接触力合成的 wrench 为零，物体动不了，它们就是手指之间互相"挤压"的内力。内力正是抓取能握紧而不平移物体的原因，也是摩擦抓取的救星：把内力开大，每个接触点的法向力增大，摩擦锥里能放的切向力也跟着增大。

FIG 4 是平面二指手，每指两个关节。选好物体的重量和重心位置后，手需要对物体施加的 wrench 是固定的（抵消重力）；这在 $f$ 空间里只确定了 $G^{+}\mathbf w$ 这一部分，剩下的自由度就是沿零空间的挤压大小 $N$。试着调 $N$：太小摩擦锥放不下所需的切向力，物体滑落；足够大就稳住了；再大只是白白消耗关节力矩。

FIG 4平面二指手：关节力矩、内力与摩擦锥

τ_L1

τ_L2

τ_R1

τ_R2

琥珀色圆点是物体重心（拖动或用滑块改变偏移 $x_c$），向下的琥珀箭头是重力 $mg$。每个指尖画出摩擦锥（绿色），以及指尖施加在物体上的力 $\mathbf f_i=$（浅色：$G^{+}\mathbf w$，承担重力的摩擦力）+（青色：挤压 $N$ 沿零空间）。合力在锥内为琥珀色，出锥为红并且物体下滑。右侧四根条是由 $\boldsymbol\tau=J_h^\top\mathbf f$ 算出的关节力矩，红色竖线是力矩上限，超限变红。读数里的核对项分别是 $G\mathbf f-\mathbf w_d$ 与由 $\boldsymbol\tau$ 反解 $\mathbf f=J_h^{-\top}\boldsymbol\tau$ 的往返误差。

试一试

调整挤压 $N$，使物体不滑，并且 $N$ 只比最小值 $N_{\min}$ 大不超过 15%。读数里的 $N_{\min}$ 公式是什么形状？
把重心偏移 $|x_c|$ 拉到 2 cm 以上，并重新找到一个刚好不滑的 $N$（不超过 $N_{\min}$ 的 1.15 倍）：偏心让一侧手指承担更多摩擦力，所需的挤压为什么变大？

同一个对偶出现两次

3.4 节：$\boldsymbol\tau=J^\top\mathbf F$，"关节速度映到指尖速度，指尖力映到关节力矩"。抓取矩阵里是同一个故事：物体的 twist $\mathbf V$ 映到各接触点的速度 $\mathbf v_c=G^\top\mathbf V$，各接触力映到物体的 wrench $\mathbf w=G\mathbf f$（虚功原理 $\mathbf w^\top\mathbf V=\mathbf f^\top\mathbf v_c$，即功率 $\boldsymbol\omega^\top\mathbf m+\mathbf v^\top\mathbf f$）。手和物体间的关系，就是 $J_h\dot{\mathbf q}=G^\top\mathbf V$（接触点不脱离、不滑动时手指与物体的速度一致）。

5再看数学

提示：把鼠标悬停在公式中带底色的符号上，FIG 2、FIG 3 或 FIG 4 中对应的元素会被高亮。

接触模型

手指与物体的接触被建模成一个点，选哪种模型决定了每个接触能传多少"独立的力"（$B_i$ 的列数）：

接触模型	允许的接触力	平面 / 空间的独立分量
无摩擦点接触	$\mathbf f=f_n\mathbf n,\ f_n\ge0$	1 / 1
带摩擦点接触（库仑）	$\mathbf f=f_n\mathbf n+\mathbf f_t,\ \\|\mathbf f_t\\|\le\mu f_n,\ f_n\ge0$	2 / 3 （空间里是圆锥，常用 $m$ 棱锥近似）
软指（soft finger）	再加绕法线的力矩 $\|m_n\|\le\gamma f_n$	— / 4

抓取矩阵

取物体上的参考点 $\mathbf c$。第 $i$ 个接触点在 $\mathbf p_i$，接触力 $\mathbf f_i\in\mathbb R^3$（空间）对物体产生的 wrench（力矩在前，7.6 节；7.6 节把 wrench 记作 $\mathbf F$，本节改记为 $\mathbf w$，把 $\mathbf F$ 留给 FIG 1 里手指的力）是

$$ \mathbf w_i=\begin{bmatrix}\mathbf m_i\\ \mathbf f_i\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}[\mathbf p_i-\mathbf c]_\times\\ I_3\end{bmatrix}}_{G_i\ (6\times3)}\mathbf f_i,\qquad \mathbf w=\sum_{i=1}^{k}G_i\mathbf f_i=\hl{G}{G}\,\mathbf f,\qquad \text{plane:}\ G_i=\begin{bmatrix}-(p_{i,y}-c_y) & p_{i,x}-c_x\\ 1&0\\ 0&1\end{bmatrix}. $$

($[\cdot]_\times$ 是 1.8 节的叉积矩阵；平面里 $\mathbf m=(\mathbf p-\mathbf c)\times\mathbf f$ 是标量，也就是上式第一行。)接触力写成锥的基 $\hl{cone}{\mathbf f_i=B_i\boldsymbol\lambda_i}$，$\boldsymbol\lambda_i\ge0$，$B_i$ 的列就是 FIG 1 的 $\mathbf e_\pm=\mathbf n\pm\mu\mathbf t$。物体平衡要求 $\mathbf w+\mathbf w_{\text{ext}}=\mathbf 0$，所以抓取抵抗得了 $\mathbf w_{\text{ext}}$，当且仅当 $-\mathbf w_{\text{ext}}$ 属于 $\{GB\boldsymbol\lambda:\boldsymbol\lambda\ge0\}$，这个集合正是 FIG 2 凸包张成的锥。

力封闭、形封闭与内力

令 $p=3$（平面）或 $6$（空间）。把全部边 wrench 记作 $\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_m$（FIG 2 里 $m=2k$）。

$$ \text{force closure}\ \iff\ \Big\{\sum_j\lambda_j\mathbf w_j:\lambda_j\ge0\Big\}=\mathbb R^{p}\ \iff\ \mathbf 0\in\operatorname{int}\,\hl{hull}{\operatorname{conv}\{\mathbf w_j\}}\ \iff\ \operatorname{rank}G=p\ \text{ and }\ \exists\,\mathbf f\in\mathcal N(G)\cap\operatorname{int}\prod_i\mathrm{FC}_i. $$

最后一个等价式（Murray–Li–Sastry 第 5 章；Nguyen）把 1.6 节的零空间带了回来：矩阵 $G$ 要满行秩（能产生任何方向的 wrench），而且零空间里存在一个严格在所有摩擦锥内部的内力（手指可以一边互相挤压，一边每个接触点都稳稳在锥里）。形封闭是 $\mu=0$ 的特例，此时每个接触只有一个 $\mathbf w_i$，要正张成 $\mathbb R^p$ 至少要 $m\ge p+1$ 个：4 个（平面），7 个（空间）；Markenscoff–Ni–Papadimitriou（1990）证明平面里不含圆弧的物体 4 个就够，没有旋转对称的一般 3D 物体 7 个就够。

对跖定理

两个点接触时 $G$ 是 $3\times4$，零空间一维（秩 3）。零空间里的力满足 $\mathbf f_1+\mathbf f_2=\mathbf 0$ 且合力矩为 0，所以它必须沿着两个接触点的连线，成对地"相向挤压"。它要严格落在两个锥内，等价于：

$$ \hl{angle}{\angle\big(\mathbf p_2-\mathbf p_1,\ \mathbf n_1\big)}<\arctan\mu,\qquad \angle\big(\mathbf p_1-\mathbf p_2,\ \mathbf n_2\big)<\arctan\mu. $$

FIG 3 的绿色区域就是用这两个不等式逐格画出的；在阈值处 $\varepsilon$ 线性降为 0（数值检查过：把 $\theta_2$ 扫过阈值，$\varepsilon$ 在边界一侧恰为 0，另一侧随与边界的距离线性增长）。

质量指标 $\varepsilon$

Ferrari 与 Canny（1992）把"这个抓取多抗扰"定义成凸包里以原点为心的最大球的半径：

$$ \hl{eps}{\varepsilon}\;=\;\max\{r:\ \mathcal B_r(\mathbf 0)\subseteq\operatorname{conv}\{\mathbf w_j\}\}\;=\;\min_{\|\mathbf d\|=1}\ \max_{j}\ \mathbf d^\top\mathbf w_j\;=\;\min_{\text{facets }F}\ \frac{b_F}{\|\mathbf a_F\|}. $$

中间的 $\max_j\mathbf d^\top\mathbf w_j$ 是凸包沿 $\mathbf d$ 方向的"支撑函数"；让它最小的方向 $\mathbf d^\star$ 最薄，$-\varepsilon\mathbf d^\star$（FIG 2 的红色箭头）就是最难抵抗的外 wrench。凸包写成 $\{\mathbf w:\mathbf a_F^\top\mathbf w\le b_F\}$ 的面片形式时，$\varepsilon$ 是原点到最近面片的距离。FIG 2 里点很少，用暴力枚举所有三点面即可得到精确值；点多时（三维摩擦金字塔）用 qhull 一类的凸包算法或线性规划（6.8 节）。几个检验过的值：三指对称夹圆盘（$\rho=R$），$\varepsilon=\mu$，直到 $\mu\approx0.91$ 才被另一个面片截断；两个对跖点夹圆盘，$\varepsilon$ 等于四面体凸包的内切球半径，和数值精确值一致。

注意 $\varepsilon$ 不是坐标无关的：换参考点 $\mathbf c$、换特征长度 $\rho$（单位）就会改变它的数值，因为这相当于对 wrench 空间做了线性变换。只有"是否封闭"（原点在不在凸包内）不受影响。不同抓取之间比较 $\varepsilon$，必须是同一物体、同一参考点、同一 $\rho$、同一种范数（FIG 2 用的是总法向力 $\le1$ 的 $L_1$ 范数；另一种常用的是每个接触法向力 $\le1$ 的 $L_\infty$ 范数）。

手：$J_h$、内力与抓取力优化

把所有手指的雅可比叠成分块对角矩阵 $J_h=\operatorname{diag}(J_1,\dots,J_k)$（每个 $J_i$ 是 3.4 节的指尖雅可比）。静力学给出

$$ \boldsymbol\tau=J_h^\top\mathbf f,\qquad \mathbf w=G\mathbf f,\qquad \mathbf f=\underbrace{G^{+}\mathbf w_d}_{\text{net wrench}}+\underbrace{\mathcal N(G)\,\boldsymbol\lambda}_{\text{internal force}},\qquad J_h\dot{\mathbf q}=G^\top\mathbf V. $$

对每根手指是 $2\times2$ 的可逆 $J_i$（FIG 4），则 $\mathbf f_i=J_i^{-\top}\boldsymbol\tau_i$：给定关节力矩就确定指尖力。实际控制里反过来：先选 $\mathbf f$，再算 $\boldsymbol\tau$。选 $\mathbf f$ 的过程叫抓取力优化：在 $G\mathbf f=\mathbf w_d$、$\mathbf f_i\in$ 缩进的摩擦锥（留安全余量）、$\|\boldsymbol\tau\|_\infty\le\tau_{\max}$ 这些约束下，最小化（比如）$\|\mathbf f\|^2$ 或最大关节力矩。目标是凸二次或线性函数，约束是锥和线性不等式，所以是 QP/SOCP（6.7 到 6.8 节）；手控制器每个周期解一次。

欠驱动、协同与手内操作（指路）

欠驱动手指：一个电机通过肌腱带动 2 到 3 个关节，肌腱力 $F_t$ 在第 $i$ 个关节产生力矩 $r_iF_t$，被关节弹簧 $k_iq_i$ 和接触力平衡：$r_iF_t=k_iq_i+(J^\top\mathbf f)_i$。指节碰到物体后那个关节被接触力"卡住"，电机继续拉，后面的指节继续合拢直到全部贴合：手指自适应地"包住"物体，不需要感知形状。代价是你不能独立控制各关节力矩，内力分布由机构几何和弹簧决定。协同：人手的抓取姿态高度相关，少数几个主成分（Santello 等，1998）就能解释大部分姿态的方差，把关节角写成 $\mathbf q=\bar{\mathbf q}+S\mathbf z$，$\mathbf z$ 只有两三维，就是一个"软件版"的欠驱动。手内操作：在保持封闭的同时让物体的 twist $\mathbf V$ 变化，就要让接触点在物体表面滚动或滑动（接触点的位置 $\mathbf p_i$ 变成状态量），需要接触运动学和"手指步态"；这是 Murray–Li–Sastry 第 5、6 章和近年强化学习（见下一节）的领域。

6机器人中的它：给一堆候选抓取打分

料箱拣选（bin picking）的经典流程：相机拍到物体，规划器采样几百到几千个候选抓取，用分数排序，把最好的交给机械臂。Dex-Net 2.0（Mahler 等，RSS 2017）的做法是：先在仿真里对上百万个合成点云上的抓取，用上面讲的 Ferrari–Canny 类指标并加入摩擦系数、物体位姿、夹爪位姿的随机扰动，算出鲁棒质量作为标签，再训练一个神经网络（GQ-CNN）直接从深度图预测成功概率，这样现实里不用解几何，一次前向就给出分数。

下图用同样的逻辑做一个玩具版本：一个 160 边形的"土豆"，平行夹爪从相对两侧闭合。候选是所有边界点对（线的亮度表示分数），夹爪张开宽度有上限。"名义"模式按精确几何下的 $\varepsilon$ 排序；"鲁棒"模式则让物体的位姿有高斯误差（平移与旋转），夹爪沿原来的闭合线重新接触，对 40 次随机误差取平均 $\varepsilon$，并统计仍然封闭的比例。

FIG 5平行夹爪抓取规划

细线是满足开口限制且名义上封闭的候选对，线越不透明分数越高（当前排序方式）。粗线加两侧指垫是当前排名第一的抓取；虚线圈是"另一种排序方式"的第一名，两者不同时读数会提示。位姿误差 $\sigma$ 以物体半径为单位（旋转用 $\sigma$ 弧度）；随机数固定，所以拖动滑块时排名变化是真实的，不是抖动。

试一试

把 $\sigma$ 调到 0.08 以上并切到"鲁棒"：名义最优的抓取和鲁棒最优的抓取不是同一个。名义分数最高的那个，在位姿误差下为什么容易失败？

真实系统里

学习式抓取检测：Dex-Net 2.0/3.0（平行夹爪/吸盘，用解析质量作标签）、GraspNet-1Billion（Fang 等，CVPR 2020）、6-DoF GraspNet（Mousavian 等，ICCV 2019）、Contact-GraspNet（Sundermeyer 等，ICRA 2021）、AnyGrasp（Fang 等，T-RO 2023），输入点云，输出 6 自由度夹爪位姿与分数；Part V 与 Part VI 会从监督学习与扩散策略的角度回来讲这些方法。吸盘：不需要摩擦，需要一块可密封的平面，仓储拣选里最常用。手内重定向：OpenAI 的魔方手（2019）用 Shadow Hand、自动域随机化和 PPO 在仿真里训练再迁移到真机；后来 Allegro 与 LEAP Hand 上的手内旋转策略（Qi 等，2022 年起）用相同路线。触觉：GelSight、DIGIT 这类视触觉传感器直接看到接触面，估计法向力与滑移（9.4 节的传感器分类表把它们与其他传感器放在一起比较）。夹爪选择：平行夹爪便宜可靠，适合形状规则的零件；吸盘适合有平面的箱体；软手和自适应手适合形状不确定；灵巧手适合手内操作和使用工具，但贵、脆、难控。

末端执行器	自由度 / 驱动	特点
平行夹爪（Franka Hand）	1 个驱动，行程约 80 mm	对跖捏取；便宜，鲁棒，最常用
自适应夹爪（Robotiq 2F-85）	1 个驱动，连杆式欠驱动指，行程 85 mm	指节自动贴合，适应形状
三指自适应（Robotiq 3-Finger）	3 指各 1 个驱动，外加 1 个开合电机（共 4 个）	包络抓取（power grasp）
吸盘 / 软抓手	0 个手指自由度（真空或气压）	吸盘要可密封平面；软手靠被动柔顺
Ability Hand（PSYONIC）	5 指，6 个驱动自由度	假肢出身，轻巧
Allegro Hand	16 自由度，4 指 × 4 关节，全驱动	研究常用，仿真模型成熟
LEAP Hand	16 自由度，4 指 × 4 关节，全驱动	低成本，面向机器人学习（Shaw 等，RSS 2023）
Shadow Dexterous Hand	24 个关节，20 个驱动（指端两个关节耦合）	接近人手尺寸；OpenAI 魔方手

作为参照，人手的关节自由度常被引用为 20 多个（连手腕约 27）。机器人手的难点不在自由度的个数，而在驱动器体积、肌腱摩擦、触觉传感和它们的可靠性。

7常见误区

误区 1：只看力平衡，忽略力矩

力封闭是关于wrench的，力和力矩一起。在 FIG 2 里把圆盘上的三个接触点对称放置并令 $\mu=0$：三个法向力互成 120°，合力为零，看上去"平衡"了，但它们的作用线都过圆心，对绕圆心的转动毫无抵抗，$\varepsilon=0$。有了摩擦，切向力才有了力臂，$\varepsilon=\mu$。直觉"力平衡"会漏掉一整个自由度。

误区 2：把 $\mu$ 当成已知常数

$\mu$ 不是物体的属性，而是指垫与物体这一对表面在当前条件（干湿、油污、速度、压力）下的性质，估计往往差一倍。FIG 3 显示封闭区域对 $\mu$ 很敏感。实践里用一个保守的 $\mu$（比标称值小）画锥，或者像 Dex-Net 那样把 $\mu$ 当作随机变量去采样，再取期望或最差情形。

误区 3：理想接触点不等于手指够得着的点

本节把接触点当作可以任意摆放的点。真实的手指有厚度和指垫，是一块曲面而不是一个点；接近方向会撞到料箱壁和邻近物体；手指的关节要能给出需要的力矩（FIG 4 的力矩条）。"力封闭"只是必要条件之一。抓取规划还要加上运动学可达性、碰撞检测、抓取力是否在关节力矩限制内。

误区 4：平面封闭 ≠ 三维封闭

FIG 3 里的对跖抓取在平面里封闭，但把物体放到三维里，两个点接触夹一个物体，绕两点连线的转动没有任何抵抗：点接触（哪怕有摩擦）不能产生绕法线的力矩。所以一个夹爪夹住瓶子，瓶子仍可能绕夹爪的轴摆下去。解决办法是增加第三个接触、用有面积的指垫（软指模型提供绕法线的摩擦力矩），或者抓在重心附近，让重力绕夹爪轴的力矩尽量小。

误区 5：$\varepsilon$ 越大越好，也不依赖单位

FIG 5 展示了第一个问题：名义 $\varepsilon$ 最高的抓取可能对位姿误差很敏感，鲁棒排序才是实际成功率的更好代理，这也是 Dex-Net 用鲁棒质量当标签的原因。第二个问题在上一节：$\varepsilon$ 依赖参考点和 $\rho$，换单位就换数值。把它当作同一物体上的排序依据，而不是跨物体的绝对"好坏"。还有第三个：$\varepsilon$ 不管动力学。手臂在加速时，惯性力会附加在 $\mathbf w_{\text{ext}}$ 上。

8小练习

1. 指垫与物体的摩擦系数 $\mu=0.5$。摩擦锥的半角是多少？

$\varphi=\arctan\mu=\arctan0.5\approx26.6^\circ$。切向力与法向力之比不超过 $\mu$ 正好是锥的边界：边上 $\tan\varphi=f_t/f_n=\mu$。

2. 橡胶指垫 $\mu=0.8$，两指在平面里夹一个物体，两接触点的连线与两侧的内法向都成 35° 角。这是力封闭吗？

对跖定理：连线在两个锥里就封闭，不需要法线重合（而没有摩擦时，即使法线重合，两点也封闭不了：平面里无摩擦至少要 4 个接触点）。有摩擦时 2 个点接触就够，且封闭与质量无关，质量只决定需要多大的挤压力（FIG 4）。

3. 至少需要多少个无摩擦点接触才能对一个一般的物体形封闭？（平面 / 空间）

$n$ 维 wrench 空间里，无摩擦接触每个只给一个 wrench，要正张成 $\mathbb R^n$ 至少要 $n+1$ 个：平面 $n=3$ 得 4，空间 $n=6$ 得 7。FIG 2 里 $\mu=0$ 时 3 个点永远不封闭、4 个点可以。

4. 用两个对称的平行指垫（$\mu=0.4$）夹住 0.5 kg 的物块，重心在两指中间，$g=9.8\ \text{m/s}^2$。抓住它所需的最小挤压力 $N$（每个指尖的法向力）约为？

$mg=0.5\times9.8=4.9$ N，两个指尖各分担 $mg/2=2.45$ N 的摩擦力。要求 $2.45\le\mu N$，得 $N\ge2.45/0.4\approx6.1$ N（对应 FIG 4 的 $N_{\min}=mg/(2\mu)$）。若偏心，$N_{\min}$ 变为 $mg\,(1/2+|x_c|/w)/\mu$。

5. 在三维中，用两个带摩擦的点接触夹住一个物体。哪一种外 wrench 是它抵抗不了的？

点接触的力只有 3 个分量，两个接触共 6 个未知数，但 $G$ 的秩只有 5：缺的就是绕连线的力矩（接触点都在连线上，接触力对这条线没有力矩）。软指（绕法线有摩擦力矩）或第三个接触才能补上。

9延伸阅读

R. M. Murray, Z. Li & S. S. Sastry, A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation (CRC Press, 1994), Ch. 5 — 多指手运动学：接触模型、抓取矩阵、力封闭与形封闭的严格定义
K. Lynch & F. Park, Modern Robotics, Ch. 12 — 抓取与操作：接触运动学、摩擦、形封闭与力封闭
V.-D. Nguyen, Constructing Force-Closure Grasps, Int. J. Robotics Research 7(3), 1988 — 两指对跖定理与力封闭抓取的构造
C. Ferrari & J. Canny, Planning Optimal Grasps, IEEE ICRA 1992 — 质量指标 $\varepsilon$（最大内切球）的出处
A. Bicchi & V. Kumar, Robotic Grasping and Contact: A Review, IEEE ICRA 2000 — 抓取与接触研究的综述
M. T. Mason & J. K. Salisbury, Robot Hands and the Mechanics of Manipulation (MIT Press, 1985) — 手与操作力学的早期经典
E. Markenscoff, L. Ni & C. H. Papadimitriou, The Geometry of Grasping, Int. J. Robotics Research 9(1), 1990 — 形封闭需要几个接触点
J. Mahler et al., Dex-Net 2.0: Deep Learning to Plan Robust Grasps with Synthetic Point Clouds and Analytic Grasp Metrics, RSS 2017 — 用解析质量作标签训练抓取质量网络
OpenAI et al., Solving Rubik's Cube with a Robot Hand, arXiv:1910.07113, 2019 — 灵巧手的手内操作：仿真训练、自动域随机化、迁移到真机
M. Santello, M. Flanders & J. F. Soechting, Postural Hand Synergies for Tool Use, J. Neuroscience 18(23), 1998 — 人手抓取姿态的低维协同