Part III · 第 10 章相机与投影 · 10.2

射影几何与齐次坐标

针孔相机的投影要除以深度，是个非线性运算；铁轨在远处会相交，而"过两点的直线""两条直线的交点"在平行线面前又要分情况讨论。给每个点多添一个坐标 w，只在"差一个比例"的意义下看待它，这些麻烦一并消失：投影变成矩阵乘法，平行线交在无穷远点，连线与求交都是同一个叉积。本节把 5.3 节里"补一个 1"的小技巧扩展成射影几何，它是 DLT、单应、对极几何、三角化等后面所有算法的共同语言。

约 35 分钟前置：1.6 逆、秩与零空间 · 1.8 叉积 · 5.3 齐次变换 · 10.1 针孔相机 5 个交互

1为什么机器人需要它

10.1 节的针孔模型是 $u = f_x X/Z + c_x,\ v = f_y Y/Z + c_y$。分母里的 $Z$ 使投影成为非线性映射：它不能写成一个矩阵乘法，不能把两个相机的变换连乘，也不能直接取逆。除此之外，你在图像里还会遇到这几件事：

平行线会相交。路面上的车道线、桌子的边、走廊的墙角线，在三维里互相平行，在图像里却汇聚到一个消失点。消失点的位置藏着相机的朝向，甚至焦距。
点和线的运算有特例。"过两点的直线""两条直线的交点"，在普通坐标里要解方程组，还要单独讨论竖直线与平行线。
后面的算法都是线性代数。由 4 个角点求单应（10.5）、由 6 个点标定相机（10.4）、由 8 对点求基础矩阵（11.1）、两视图三角化（11.3）：它们统统写成"$A\mathbf h = \mathbf 0$，取零空间"（1.6、1.12），前提是先把问题写成齐次向量上的线性方程。

5.3 节已经用过齐次坐标：补一个 1，让平移也变成矩阵乘法。这一节把末位的数当作一个真正的坐标，并且不再要求它等于 1。这个小小的放松，就是射影几何的全部入口。

2直觉：射影平面 = 过原点的射线

让相机中心 $O$ 位于原点，成像平面取 $w = 1$（10.1 节的归一化像平面，这里把光轴记作第三个坐标 $w$）。从 $O$ 出发的每一条射线恰好穿过成像平面一次，所以一个像点就是一条过原点的射线，这条射线上任何一个非零向量 $\tilde{\mathbf x}=(x,y,w)$ 都可以代表它。把向量放大、缩小，甚至反号，射线没变，点就没变。要读出普通坐标，只需让射线与平面 $w=1$ 相交：$(x/w,\ y/w)$。

有意思的是平行于成像平面的射线（$w=0$）：它们永远打不到平面，却仍然是射线，是齐次向量。这就是无穷远点，它的坐标 $(x,y,0)$ 记录的是方向。而且一族平行线恰好对应这样一个点：每条直线与原点张成一个平面，这一族平面共享同一条射线。下图先拖滑块看一个点，再切到"平行线"看这件事。

FIG 1射影平面 = 过原点的射线

青色半透明方块是像平面 $w=1$，底部的网格是平面 $w=0$（理想点所在），紫色圆是所有方向。琥珀色箭头是齐次向量 $\tilde{\mathbf x}=\lambda\mathbf d$，青色虚线是它所在的射线。"点"模式：$\alpha$ 是射线与光轴（$w$ 轴）的夹角，$\varphi$ 是方位角，$\lambda$ 是向量的缩放（可以为负）。"平行线"模式：三条平行线（红、绿、蓝）各与原点张成一个平面，三个平面交于琥珀色的射线。可以用鼠标拖动画布旋转视角。

试一试

在"点"模式下把 $\lambda$ 拖到负数：箭头反向了，可射线上的交点有没有动？这说明 $\tilde{\mathbf x}$ 和 $-\tilde{\mathbf x}$ 是什么关系？
把 $\alpha$ 一路拖到 $90^\circ$：交点飞向哪里？$w$ 变成多少？此时读数里的"点"变成了什么？

核心洞见

射影平面 $\mathbb P^2$ 就是 $\R^3$ 中过原点的直线（射线）的集合。普通点是穿过 $w=1$ 平面的射线，无穷远点是平行于它的射线，二者在代数上没有区别，只是 $w$ 恰好为 0。"平行线交于无穷远"不是一个约定，而是一个事实：平行线族对应的平面共享一条射线。

3动手玩：连线、求交与对偶

在齐次坐标里，直线 $ax+by+c=0$ 就是向量 $\mathbf l=(a,b,c)$，点 $\tilde{\mathbf x}$ 在直线上当且仅当 $\mathbf l^{\top}\tilde{\mathbf x}=0$。过两点 $\mathbf a,\mathbf b$ 的直线必须与两者都"垂直"（内积为 0），而叉积恰好给出同时垂直于两个向量的向量（1.8 节），所以 $\mathbf l=\mathbf a\times\mathbf b$。两条直线的交点同理：$\tilde{\mathbf x}=\mathbf l\times\mathbf m$。连线与求交是同一个运算，只是把点和线的角色对调，这叫对偶。

下图拖动四个点：绿线过 $\mathbf a,\mathbf b$，紫线过 $\mathbf c,\mathbf d$，琥珀色点是它们的交点。读数里逐项验证了关联关系 $\mathbf l^\top\mathbf a=0$ 等。点击"使 m ∥ l"让两线平行，再轻轻拖动一个点。

FIG 2连线与求交：两个叉积

点吸附到 0.25 的网格上，所以能做到精确平行。交点跑出画面时，边缘的琥珀色箭头指向它所在的方向；两线平行时交点是无穷远点 $(d_x,d_y,0)$，两个方向的箭头同时出现，因为 $(d_x,d_y,0)$ 与 $(-d_x,-d_y,0)$ 是同一个点。读数里的"相对残差"是 $|\mathbf l^\top\mathbf p|/(\|\mathbf l\|\|\mathbf p\|)$，应为 0（舍入误差在 $10^{-16}$ 量级，对网格点常常恰好为 0）。$\det[\mathbf a\ \mathbf b\ \mathbf c]$ 等于三角形 $abc$ 面积的两倍（带符号），为 0 当且仅当三点共线。

让两条线精确平行（点"使 m ∥ l"，或自己拖到网格点上）。交点 $\tilde{\mathbf x}$ 的第三个分量变成了什么？程序有没有除以它？
让交点先在画面很远的一侧，再慢慢转到另一侧（经过平行的位置）。交点是从无穷远"绕回来"的：射影平面是闭合的。

对偶：同一个公式，两种读法

$\mathbf l^\top\tilde{\mathbf x}=0$ 对 $\mathbf l$ 和 $\tilde{\mathbf x}$ 是对称的。读成"点在线上"，叉积给出连线；读成"线过点"，叉积给出交点。凡是一个关于点和线的射影定理，把"点"与"线"、"共线"与"共点"互换，得到的仍是定理。这也是为什么本课之后会反复出现"一个 3×3 矩阵既可以看作点到点的映射，又可以看作点到线的映射"（11.1 节的基础矩阵就是后者）。

4第二、第三视角：消失点与变换层级

消失点与地平线

三维里方向为 $\mathbf d$ 的所有平行线，在相机坐标里的方向都是 $R_{cw}\mathbf d$。把"方向"当作 $w=0$ 的齐次点 $(\mathbf d,0)$，投影矩阵作用上去，得到它们共同的像：消失点 $\tilde{\mathbf v}=K R_{cw}\mathbf d$（FIG 5 会验证）。几何上，过相机中心、平行于这族直线的那条射线，与像平面的交点就是消失点。地面上所有方向的消失点落在同一条线上，即地平线（地面的消失线）；地平线是地面的无穷远线在图像里的像。

下图左边是三维场景：地面、一座"房子"、相机和三条过相机中心的射线（沿 $x,y,z$ 方向），射线与像平面的交点就是消失点。右边是相机拍到的图像。地平线画的是 $K^{-\top}\mathbf n_c$（$\mathbf n_c$ 为地面法向在相机系中的方向）；读数里再用两个消失点的叉积算一遍，两者一致，即使其中一个消失点跑到无穷远，叉积公式依然成立。

FIG 3消失点与地平线

三维场景（可旋转）

相机图像（u 向右，v 向下）

相机在以原点为中心、半径 7.5 m 的圆周上，朝向原点，再向下俯仰。图像为 640×480，主点在中心。红、绿、蓝是沿 $x,y,z$ 的平行线族；明亮部分在图像内，暗淡部分在图像外；琥珀色虚线是地平线。消失点在画面外时，边缘的箭头给出方向。图中的虚线是房子的边向各自消失点的延长。

把方位角调到 0°，让相机正对房子的一面。红色 $x$ 线在图像里变成什么？$\tilde{\mathbf v}_x$ 的 $w$ 是多少？地平线还能算出来吗？
把俯仰调到 0°：地平线落在图像的哪一行？再把相机升到 4 m 以上，地平线动了吗，地面网格呢？

两个相互垂直的水平方向（$x$ 和 $y$）的消失点还满足 $\tilde{\mathbf v}_x^\top\omega\,\tilde{\mathbf v}_y=0$，$\omega=K^{-\top}K^{-1}$；主点已知、像素为方形时，这就是一行公式：$f^2=-(\mathbf v_x-\mathbf c)\cdot(\mathbf v_y-\mathbf c)$。读数里的 $\hat f$ 正是这样算出来的，10.4 节会把它推广成标定方法。

变换的层级：保持什么，丢掉什么

平面上的 3×3 可逆矩阵 $H$ 作用在齐次点上，叫射影变换（单应）。限制 $H$ 的形状，得到越来越"刚"的子类：欧氏（刚体）→ 相似 → 仿射 → 射影。每放松一级，多丢掉一些几何性质，也多出几个自由度。下图让你亲手操作这四级，并实时测量哪些量还保持不变。最右的"四角点"模式直接拖动正方形的四个角，由 DLT 反求 $H$，那就是 10.5 节的单应。

FIG 42D 变换的层级

虚线是原图，实线是 $H$ 作用后的图像。两个直角标记 L₁、L₂ 的臂长都是 0.4（红臂沿 $x$，绿臂沿 $y$）；圆变成了圆、椭圆或一般圆锥曲线；琥珀色的四个点在 $x$ 轴上。紫色虚线是原图左右两条竖边的像，两线交点是消失点；琥珀色长虚线是 $H^{-\top}\mathbf l_\infty$，即无穷远线的像。表中 ✓ 表示该量保持不变（相对误差 < 0.1%）。"四角点"模式下拖动四个圆圈。

选"仿射"，把"剪切 k"拉到 0.5 以上：哪几行变成 ✗？平行性呢？
选"射影"，调 $v_1$ 或 $v_2$ 使左右两边在图像里交于有限远的一点（距离 < 8）。这个点是 $H$ 作用下哪两条线的交点？地平线在哪？
选"四角点"，把正方形拖成梯形。哪几行永远不会变成 ✗？

一个 3-向量，四种身份

同一个三元组可以是：图像点（$w\neq0$），方向/消失点（$w=0$），直线（用 $\mathbf l^\top\tilde{\mathbf x}=0$ 的方式读），或者相机坐标系里的射线（$K^{-1}\tilde{\mathbf x}$，10.1 节的反投影）。区别在于怎么变换：点用 $H$，线用 $H^{-\top}$，射线用 $K^{-1}$。写代码时给它们分别起名字（甚至用不同的类型），能避免一大类 bug。

5再看数学

提示：悬停在公式中带底色的符号上，FIG 1 和 FIG 2 里对应的元素会被高亮。

齐次坐标与无穷远点

射影平面是非零 3-向量模掉"相差一个非零倍数"的等价关系：

$$ \begin{gathered}\mathbb P^2=(\R^3\setminus\{\mathbf 0\})/\!\sim,\qquad \hl{x}{\tilde{\mathbf x}}\sim\hl{lam}{\lambda}\tilde{\mathbf x}\ \ (\lambda\neq0)\\[4pt] (x,y)\ \mapsto\ (x,y,1),\qquad (x,y,\hl{w}{w})\ \mapsto\ \Big(\tfrac{x}{w},\tfrac{y}{w}\Big)\ \ (w\neq0).\end{gathered} $$

三个数只有两个自由度（去掉一个整体比例）。$w=0$ 的向量 $(x,y,0)$ 没有对应的普通点，它们是无穷远点，编码方向 $(x,y)$，也就是 5.3 节里"方向用 $(\mathbf d,0)$"的那个 0。全体无穷远点构成一条线 $\mathbf l_\infty=(0,0,1)$：$\mathbf l_\infty^\top\tilde{\mathbf x}=w$。注意 $\lambda$ 可以是负数，$\tilde{\mathbf x}$ 与 $-\tilde{\mathbf x}$ 是同一个点。

直线、连线与求交

直线 $ax+by+c=0$ 记作 $\hl{l}{\mathbf l}=(a,b,c)$，同样只差一个比例。$(a,b)$ 是法向，当 $\|(a,b)\|=1$ 时 $\mathbf l^\top\tilde{\mathbf x}$（$w=1$）就是点到直线的带符号距离。点与线的关联、连线、求交：

$$ \mathbf l^\top\tilde{\mathbf x}=0,\qquad \mathbf l=\tilde{\mathbf p}\times\tilde{\mathbf q}\ \ (\text{join}),\qquad \hl{x}{\tilde{\mathbf x}}=\hl{l}{\mathbf l}\times\hl{m}{\mathbf m}\ \ (\text{meet}). $$

验证：$\tilde{\mathbf p}^\top(\tilde{\mathbf p}\times\tilde{\mathbf q})=0$，$\tilde{\mathbf q}^\top(\tilde{\mathbf p}\times\tilde{\mathbf q})=0$（叉积垂直于两个因子，1.8 节）。当 $\tilde{\mathbf p}\sim\tilde{\mathbf q}$ 时叉积为 0，连线不唯一；当 $\mathbf l\sim\mathbf m$ 时同理。这是唯一的退化情形，不再需要"平行""竖直"之类的分类。两条直线 $ax+by+c_1=0$ 与 $ax+by+c_2=0$ 平行，叉积为 $(c_2-c_1)\,(b,\,-a,\,0)$，正是方向 $(b,-a)$ 的无穷远点。叉积也是线性的：用 1.8 节的反对称矩阵（第 5 章里的 hat 映射）写成

$$ \mathbf a\times\mathbf b=[\mathbf a]_\times\mathbf b=\begin{bmatrix}0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0\end{bmatrix}\mathbf b,\qquad \mathbf a\times\mathbf b=\mathbf 0\iff\mathbf a\sim\mathbf b. $$

于是"两个齐次向量表示同一点"可以写成线性方程 $[\mathbf a]_\times\mathbf b=\mathbf 0$。这是比较齐次向量的正确方式，也是 DLT 的出发点（见下）。

点怎么变换，线怎么变换

可逆 3×3 矩阵 $H$ 把点映成点：$\tilde{\mathbf x}'=H\tilde{\mathbf x}$。线不能直接用 $H$，而要用 $H^{-\top}$。推导只要一行：点在线上的关系必须被保持，$\mathbf l'^\top\tilde{\mathbf x}'=0$。

$$ \begin{gathered}0=\mathbf l^\top\tilde{\mathbf x}=\mathbf l^\top H^{-1}H\tilde{\mathbf x}=\big(H^{-\top}\mathbf l\big)^{\!\top}\tilde{\mathbf x}'\quad\Longrightarrow\quad \mathbf l'=H^{-\top}\mathbf l,\\[4pt] (H\mathbf a)\times(H\mathbf b)=\det(H)\,H^{-\top}(\mathbf a\times\mathbf b).\end{gathered} $$

第二个恒等式说：先变换两点再连线，等于先连线再用 $H^{-\top}$ 变换。FIG 3 里的地平线是它的一个实例：$K\mathbf r_1\times K\mathbf r_2=\det K\cdot K^{-\top}(\mathbf r_1\times\mathbf r_2)=\det K\cdot K^{-\top}\mathbf r_3$。对二次曲线 $\tilde{\mathbf x}^\top C\tilde{\mathbf x}=0$，同理 $C'=H^{-\top}CH^{-1}$（读数里不用，只作指针）。若 $H$ 是纯旋转（$R^{-\top}=R$），线和点用同一个矩阵变换，你不会发现差别；刚体运动下的法向量也只按 $R$ 旋转，同样看不出来。但齐次形式的平面在 $T\in\mathrm{SE}(3)$ 下仍要用 $T^{-\top}$（平移会改变平面的常数项）；一旦出现缩放、剪切或透视，差别立刻显现（见"误区 3"）。

层级、自由度与不变量

类别	H	自由度	保持不变的量
欧氏	$\begin{bmatrix}R&\mathbf t\\ \mathbf 0^\top&1\end{bmatrix}$	3	长度、角度、面积
相似	$\begin{bmatrix}sR&\mathbf t\\ \mathbf 0^\top&1\end{bmatrix}$	4	角度、长度之比
仿射	$\begin{bmatrix}A&\mathbf t\\ \mathbf 0^\top&1\end{bmatrix}$	6	平行性、平行线段的长度比、面积比；$\mathbf l_\infty$ 映到自身
射影	$\begin{bmatrix}A&\mathbf t\\ \mathbf v^\top&1\end{bmatrix}$	8	关联性（共线、共点）、交比

射影类的 $H$ 有 9 个元素，去掉整体比例剩 8 个自由度。仿射类的最后一行是 $(0,0,1)$，$\mathbf l_\infty$ 被映到自己，所以平行线仍然平行；射影类的 $\mathbf v\neq\mathbf 0$，$\mathbf l_\infty$ 被映成有限远的一条线 $H^{-\top}\mathbf l_\infty$，这就是地平线（FIG 4 的琥珀色长虚线）。仿射部分 $A$ 可以分解为旋转、各向异性缩放、旋转（SVD，1.12 节）；FIG 4 中用 $R(\theta)\begin{bmatrix}s_x&k\\0&s_y\end{bmatrix}$ 参数化。

交比：射影变换下仍然不变的"比"

长度比在射影变换下不保持，但共线四点的交比保持。设四点在其所在直线上的一维坐标为 $t_1,\dots,t_4$：

$$ \operatorname{Cr}(t_1,t_2;t_3,t_4)=\frac{(t_1-t_2)(t_3-t_4)}{(t_1-t_3)(t_2-t_4)}. $$

一维射影变换是 $t\mapsto(\alpha t+\beta)/(\gamma t+\delta)$，代入后 $t_i'-t_j'=\det\cdot(t_i-t_j)/\big((\gamma t_i+\delta)(\gamma t_j+\delta)\big)$，分子分母里的 $\det$ 与 $(\gamma t_i+\delta)$ 恰好抵消。交比是"图像里的尺子"：已知三个点的真实间距，可以由图像上的四个点反推第四个点的位置（例如算出路面上某个标记的实际距离）。

相机是 $\mathbb P^3\to\mathbb P^2$ 的线性映射

三维点也有齐次坐标 $\tilde{\mathbf X}=(\mathbf X,1)\in\mathbb P^3$，平面是 4-向量 $\boldsymbol\pi$（$\boldsymbol\pi^\top\tilde{\mathbf X}=0$），无穷远平面是 $\boldsymbol\pi_\infty=(0,0,0,1)$。10.3 节的相机矩阵 $P=K[R\,|\,\mathbf t]$ 是 3×4 矩阵：

$$ \begin{gathered}\lambda\tilde{\mathbf x}=P\tilde{\mathbf X}=K\big[R\,|\,\mathbf t\big]\begin{bmatrix}\mathbf X\\1\end{bmatrix}\ \ (\mathbf t={}^{c}\mathbf t_{w}),\qquad P\begin{bmatrix}\mathbf d\\0\end{bmatrix}=KR\mathbf d,\\[4pt] P\tilde{\mathbf C}=\mathbf 0\ \Longrightarrow\ \tilde{\mathbf C}=\begin{bmatrix}-R^\top\mathbf t\\1\end{bmatrix}.\end{gathered} $$

第二个式子：无穷远点 $(\mathbf d,0)$ 的像只与 $KR$ 有关，与平移无关，这就是消失点公式。第三个式子：$P$ 的秩为 3，所以有一维零空间；相机中心是唯一被映成 $(0,0,0)$（不是任何像点）的点，因此相机中心 = $P$ 的右零向量（FIG 5 用 SVD 数值验证，1.12 节）。这里的 $\lambda$ 是投影深度（带正负号：为负表示点在相机后面），所以在相机里符号是有意义的，下面"误区 2"会再谈。

为什么 DLT 是零空间问题

已知对应点 $\tilde{\mathbf x}\leftrightarrow\tilde{\mathbf x}'$ 求 $H$。不能写 $\tilde{\mathbf x}'=H\tilde{\mathbf x}$（只差比例，$\lambda$ 未知），而应写"平行"条件 $\tilde{\mathbf x}'\times H\tilde{\mathbf x}=\mathbf 0$，它对 $H$ 的 9 个元素 $\mathbf h=(\mathbf h_1;\mathbf h_2;\mathbf h_3)$ 是线性的。设 $\tilde{\mathbf x}'=(x',y',w')$：

$$ \begin{bmatrix}\mathbf 0^\top&-w'\tilde{\mathbf x}^\top&y'\tilde{\mathbf x}^\top\\ w'\tilde{\mathbf x}^\top&\mathbf 0^\top&-x'\tilde{\mathbf x}^\top\\ -y'\tilde{\mathbf x}^\top&x'\tilde{\mathbf x}^\top&\mathbf 0^\top\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf h_1\\ \mathbf h_2\\ \mathbf h_3\end{bmatrix}=\mathbf 0. $$

三行里只有两行线性无关（叉积的三个分量满足一个线性关系），所以每对点提供 2 个方程；$H$ 有 8 个自由度，因此4 对点（任意三点不共线）刚好够。把 $n$ 对点的方程叠成 $A\mathbf h=\mathbf 0$，$\mathbf h$ 是 $A$ 的零空间，噪声下取最小奇异值对应的右奇异向量（1.12 节）。因为未知量只定义到比例，必须约束 $\|\mathbf h\|=1$，而不是 $h_{33}=1$（后者在 $h_{33}\approx0$ 时出问题）。同样的做法对相机矩阵 $P$（11 个自由度，每个 3D–2D 点对 2 个方程，至少 6 对点，10.4 节）、基础矩阵 $F$（$\tilde{\mathbf x}'^\top F\tilde{\mathbf x}=0$，一个线性方程，11.1 节）都成立。

6机器人中的它：地平线、车道线与"无穷远"

想象一台移动机器人（或一辆车）的前视相机，高度 $h$，向下俯仰 $\theta$。两条车道线平行，向前延伸到无穷远。把车道线上的点写成 $\tilde{\mathbf X}(w)=(\mathbf d+w\mathbf P_0,\ w)$，$w=1/s$ 是"离得多远"的倒数：

$$ \tilde{\mathbf x}(w)=P\tilde{\mathbf X}(w)=\cx{KR\mathbf d}+w\,P\tilde{\mathbf P}_0,\qquad \tilde{\mathbf P}_0=(\mathbf P_0,1). $$

$w$ 取 1 时是近处的点；$w\to0$ 时，点飞向无穷远，像素 $\tilde{\mathbf x}(w)$ 沿一条直线收敛到 $KR\mathbf d$，也就是消失点。它在 $w=0$ 处平滑地"到达"，因为齐次坐标把"走到无穷远"变成了 $w=0$ 这个普通数值。拖动距离滑块，再改变车道的坡度和相机的俯仰：平路的消失点落在地平线上，上坡的消失点跑到地平线之上。左边同时用 SVD 数值求出 $P$ 的零空间，核对相机中心。

FIG 5相机矩阵 P：无穷远点的像是消失点

三维：机器人相机与车道（可旋转）

图像（v 向下）

相机在原点正上方 $h$ 米处，朝 $+y$ 看，俯仰 $\theta$，焦距 500 px。两条车道 $x=\pm1.8$ m，方向 $\mathbf d=(0,1,g)$（$g$ 为坡度）；琥珀色点是右车道上 $\mathbf P_0+\mathbf d/w$ 处的点。右图中的细线是像素随 $w$ 从 1 到 0 走过的路径，它是一条直线。"零空间"一行是 $\operatorname{null}(P)$ 的 SVD 结果，应与相机中心一致。

把距离拖到 $w\le0.01$（100 m 以外）：点距离消失点还有多少像素？它还在近处的车道线上吗？
把坡度 $g$ 调到 0.1 以上（约 6° 上坡）：消失点和地平线的关系变成了什么？这对"用消失点估计俯仰角"意味着什么？

真实系统里

车道线与路面平面：车道检测常用"逆透视映射"（IPM）把前视图变成俯视图，它就是一个由相机高度、俯仰和内参决定的单应；地平线决定了哪里是路面的尽头。由消失点估计姿态：室内走廊和楼宇环境（Manhattan 世界）里，三个正交方向的消失点给出相机的旋转，也能给出焦距，用于无标定相机的初始化。基准标记：AprilTag、ArUco 的角点与标记平面之间是一个单应，OpenCV 的 findHomography、warpPerspective、solvePnP 都建立在这套齐次坐标的工具上。SLAM 前端：ORB-SLAM 一类系统的单目初始化会同时估计单应和基础矩阵，并用 DLT 三角化地图点，这些都是本课的"零空间问题"；OpenCV 提供 convertPointsToHomogeneous / convertPointsFromHomogeneous，Eigen 则是 .homogeneous() / .hnormalized()。图形学：GPU 里的裁剪坐标 $(x,y,z,w)$ 与"透视除法"正是同一件事（12.3 节）。tf / SE(3)：ROS tf 里的坐标变换（常被当作 4×4 矩阵处理）是 5.3 节的刚体变换，其中的 1 不能随意缩放；这里的齐次坐标则允许任意缩放，二者形式相似，含义不同。

7常见误区

误区 1：随手除以 w

$w=0$ 是合法的点（无穷远点），$w\approx0$ 的点除出来是一个巨大的数，误差被整体放大。尽量把运算留在齐次形式里，最后才除，并在除之前检查 $|w|$ 相对于 $\|\tilde{\mathbf x}\|$ 是否足够大（FIG 2 的判据就是这样写的）。更微妙的是：射影变换不保持"线段"。一条线段若跨过 $w=0$（比如 FIG 4 里把 $v_1$ 拉得很大），它的像不是一段，而是穿过无穷远的两段，画图时必须在 $w$ 变号处断开。

误区 2：把"相等"当成"相等到比例"

$(2,4,2)$ 与 $(1,2,1)$ 是同一个点，$(-1,-2,-1)$ 也是，所以不能直接逐元素比较，也不能用 allclose。正确的做法是各自归一化后比较（并处理符号），或检查 $\tilde{\mathbf a}\times\tilde{\mathbf b}\approx\mathbf 0$。但在相机里符号有物理意义：$P\tilde{\mathbf X}$ 的第三分量为负，说明点在相机后面，却会投影到画面里（针孔相机看不见，而射影几何并不知道）。需要区分前后时，要用"定向射影几何"的思路或单独检查深度（"手性检查"，11.1、11.4 节）。

误区 3：用 H 去变换线（或法向量）

线、平面、法向量要用 $H^{-\top}$。旋转矩阵碰巧满足 $R^{-\top}=R$，所以只做旋转、或者只变换法向量时这个错误不会暴露（带平移的齐次平面照样需要 $T^{-\top}$）；一旦 $H$ 含有缩放、剪切或透视（相机内参 $K$！），错误的线就不再过变换后的点。FIG 4 的"平行性"一行正是用 $H^{-\top}$ 变换左右两条边再求交。验证方法永远是：变换后检查 $\mathbf l'^\top\tilde{\mathbf x}'\approx0$。

误区 4：条件数与几乎平行的线

像素坐标是 $10^3$ 量级而 $w=1$，叠成 $A\mathbf h=\mathbf 0$ 后各列数量级相差 $10^6$，SVD 解出的 $H$ 精度很差。DLT 之前要做 Hartley 归一化：把点平移到质心、缩放到平均距离 $\sqrt2$（10.5 节），做完再变换回来。另一个陷阱是两条几乎平行的线：它们的叉积很小，交点在很远处，位置对线的微小误差极度敏感（夹角为 $\epsilon$ 时误差放大 $1/\epsilon$ 倍）。消失点估计因此要用很多条线做最小二乘，而不是两条线求交。

误区 5：把两种"齐次"混为一谈

5.3 节里 $T\in\mathrm{SE}(3)$ 的 4×4 矩阵，最后一个分量必须保持 1：把 $T$ 乘以 2，就不再是刚体变换。本节的 $H$ 乘以任何非零常数都是同一个变换。反过来，用 SE(3) 的求逆公式 $T^{-1}=[R^\top,-R^\top\mathbf t]$ 去求逆一个射影矩阵是错的，射影矩阵要用通用的 3×3 或 4×4 求逆。相机矩阵 $P$ 的左 3×3 块也不是旋转（它是 $KR$），用 RQ 分解（如 OpenCV 的 decomposeProjectionMatrix）来拆分，而不是把它当成位姿。

8小练习

1. 点 $(1,2)$ 与 $(3,1)$ 的连线（齐次形式，差一个比例）是？

$(1,2,1)\times(3,1,1)=(2\cdot1-1\cdot1,\ 1\cdot3-1\cdot1,\ 1\cdot1-2\cdot3)=(1,2,-5)$，即 $x+2y-5=0$。验证：$1+4-5=0$，$3+2-5=0$。选项 A 是把前两个分量写反了：$(2,1,-5)$ 过 $(1,3)$，不过 $(1,2)$。

2. 直线 $x+2y-5=0$ 与 $x+2y+1=0$ 的交点（齐次坐标，差一个比例）是？

$(1,2,-5)\times(1,2,1)=(2\cdot1-(-5)\cdot2,\ (-5)\cdot1-1\cdot1,\ 1\cdot2-2\cdot1)=(12,-6,0)\sim(2,-1,0)$：无穷远点，方向 $(2,-1)$ 正是两条线的公共方向（沿线移动时 $x+2y$ 不变）。选项 B 给出的是法向 $(1,2)$ 而不是方向；选项 D 偷偷把 $w$ 改成了 1。

3. 变换 $H=\operatorname{diag}(2,1,1)$（x 方向放大 2 倍）作用于直线 $x+y-1=0$，即 $\mathbf l=(1,1,-1)$。像是？

$\mathbf l'=H^{-\top}\mathbf l=\operatorname{diag}(\tfrac12,1,1)(1,1,-1)=(\tfrac12,1,-1)$，即 $x/2+y-1=0$。验证：点 $(1,0)\to(2,0)$ 与 $(0,1)\to(0,1)$ 都满足。选项 A 是 $H\mathbf l$，那是把线当成点来变换的典型错误：它不过 $(2,0)$。

4. 相机 $f=500$ px，主点 $(320,240)$。相机坐标系中方向为 $(1,0,2)$ 的一族平行线，消失点的像素坐标是？

$\tilde{\mathbf v}=K\mathbf d=(500\cdot1+320\cdot2,\ 240\cdot2,\ 2)=(1140,480,2)$，除以 $w=2$：$(570,240)$。选项 C 忘了除以 $w$；选项 B 只除了一半：$500\cdot1+320=820$ 没有除以深度 2；选项 D 只在 $d_z=0$（方向平行于像平面）时才成立，此时 $w=0$。

5. 用 DLT 求平面单应 $H$（8 个自由度），至少需要几对一般位置的对应点？为什么？

叉积的三个分量只有两个独立，每对点 2 个方程；8 个自由度需要 8 个方程，所以 4 对点（任意三点不共线）。3 对点只有 6 个方程，$A$ 的零空间是 3 维的，$H$ 不唯一；更多的点用于最小二乘抗噪（SVD 的最小奇异值向量）。

9延伸阅读

R. Hartley & A. Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, 2nd ed., Cambridge University Press, 2004, Ch. 2 and Ch. 3 — 本课内容的标准出处：射影平面、对偶、变换层级、交比、三维射影几何；第 4 章的 DLT 与归一化
Y. Ma, S. Soatto, J. Košecká & S. S. Sastry, An Invitation to 3-D Vision, Springer, 2004, Ch. 3 — 图像形成与透视投影的齐次坐标表述
R. Szeliski, Computer Vision: Algorithms and Applications, 2nd ed., Springer, 2022, §2.1 — 几何基元与变换的层级，图文并茂的简明版本，可免费在线阅读
J. Richter-Gebert, Perspectives on Projective Geometry, Springer, 2011 — 纯几何视角的射影几何，适合想理解"为什么对偶、交比成立"的读者
J. Stolfi, Oriented Projective Geometry: A Framework for Geometric Computations, Academic Press, 1991 — 区分 $\tilde{\mathbf x}$ 与 $-\tilde{\mathbf x}$ 的"定向"射影几何，对应上面的误区 2