Part IV · 第 13 章反馈控制 · 13.5

阻抗与导纳控制

机器人一旦接触世界，单纯控制位置或单纯控制力都会出问题：位置差 1 毫米压在钢板上就是上千牛的力，力控制在空中没有东西可推就会一路加速。阻抗控制换一个问题来问：不规定位置，也不规定力，而是规定两者之间的关系，让手爪表现得像一个"质量–弹簧–阻尼"。这一节先看这个目标行为，再看它的两种实现：力矩控制的机器人用阻抗控制（测运动、出力），位置控制的机器人配力传感器用导纳控制（测力、出运动）；然后看它们碰到软泡沫和硬钢板时谁会失稳、为什么，用无源性（能量）把稳定性讲清楚，最后在两连杆臂上做笛卡尔阻抗，并和力/位混合控制对比。

约 40 分钟前置：7.6 静力学与 wrench · 8.3 质量矩阵与科氏力 · 8.4 接触与摩擦 · 9.4 执行器与传感器 · 13.1 PID 控制 · 13.2 状态空间与稳定性 6 个交互

1为什么机器人需要它

13.1–13.4 节的控制器都在回答"怎样让机器人到达指定的位置（或状态）"。只要机器人在空中运动，这就是对的问题。可是擦桌子、插销钉、开门、拧螺丝、和人握手、腿落地，这些动作的本质是接触，而接触时位置和力被环境绑在了一起：

纯位置控制太硬。环境的位置只知道到毫米级，而环境常常比机器人还硬。钢板的接触刚度约 $2\times10^6$ N/m（8.4 节的惩罚接触模型），位置指令差 1 mm，伺服就会把接触力推到上千牛，直到电机饱和或者什么东西坏掉。
纯力控制太软。"一直用 10 N 向下压"在接触时很好，可一旦表面不在预想的位置（或者滑出了桌边），力控制方向上没有任何位置参考，手爪会一路加速，直到撞上东西。

Hogan（1985）的回答是：既不控制位置，也不控制力，而是控制两者之间的关系，也就是机器人在接触点表现出来的动态行为，即机械阻抗。最常用的目标是"让手爪像一个挂在弹簧和阻尼器上的质量块，弹簧的另一端固定在 $\mathbf x_0$"：在空中，它回到 $\mathbf x_0$；碰到东西，它以约 $K(\mathbf x_0-\mathbf x)$ 的力去推；被撞一下，它退让后再回来；人推它，它像一个弹簧一样顺从。这类行为在机器人里随处可见：

接触作业：打磨、抛光、装配、插孔，要求法向柔顺、切向精确。
人机协作：协作臂的手拖示教、碰撞后退让，都要求机器人"软"。
腿式机器人：把腿当作一根虚拟弹簧，落地冲击由控制器"吸收"。
力觉遥操作与触觉设备：渲染一面虚拟墙，就是渲染一个很硬的阻抗。
机器人学习：很多接触任务的策略直接输出阻抗控制器的目标点和刚度，而不是关节力矩。

同一个目标行为有两种实现方式，取决于手里的硬件。阻抗控制测量运动、输出力：适合力矩控制、可反向驱动的机器人（9.4 节）。导纳控制测量力、输出运动：适合减速比大、只能精确跟踪位置的工业机器人，外加一个腕部力/力矩传感器（7.6 节）。本节先用一维的"手爪 + 墙"把这两种实现和它们的稳定性讲清楚，再回到 8.3 节的两连杆臂。

2直觉：手爪应该"像什么"

先忘掉机器人，只看我们希望手爪表现出的行为。沿一个方向，手爪位置是 $x$，外界（人手、墙）施加的力是 $f_{\mathrm{ext}}$。我们希望它满足

$$ \hl{md}{m_d}\,\ddot x\;+\;\hl{dd}{d}\,\dot x\;+\;\hl{kd}{k}\,(x-x_0)\;=\;\hl{fext}{f_{\mathrm{ext}}} . $$

三个参数各管一件事。刚度 $k$（N/m）：推开 1 m 要多大的力，静止时的变形是 $f_{\mathrm{ext}}/k$。阻尼 $d$（N·s/m）：抵抗速度，决定被推开后回来时晃不晃。目标质量 $m_d$（kg）：抵抗加速度，决定推起来"有多沉"。这正是 2.5 节的二阶常微分方程：自然频率 $\omega_n=\sqrt{k/m_d}$，阻尼比 $\zeta=d/(2\sqrt{k\,m_d})$。$\zeta<1$ 时被敲一下会振荡，$\zeta=1$ 时最快且不超调地回到 $x_0$，$\zeta>1$ 时慢吞吞地爬回去。

下图里，滑块是一个"理想的"目标系统（还没有机器人）。拖动方块就是用手推它，松手后看它怎么回来；"敲一下"给它 1 N·s 的冲量；"持续推 20 N"施加一个恒力。上方是方块和弹簧、阻尼器，下方是位移随时间的曲线。

FIG 1目标阻抗：一个可以推的质量–弹簧–阻尼

拖动方块 = 用手推

x − x₀ (cm) vs 时间 (s)

上：绿色锯齿是弹簧 $k$，紫色活塞是阻尼器 $d$，它们的左端固定在虚线 $x_0$ 左边 0.3 m 处；方块越大，目标质量 $m_d$ 越大；琥珀色箭头是手的力 $f_{\mathrm{ext}}$。下：琥珀色曲线是 $x-x_0$，持续推力打开时青色虚线标出静态变形 $f_{\mathrm{ext}}/k$。仿真步长 1 ms（固定步长，与帧率无关），行程两端 ±45 cm 有机械限位。

试一试

调节阻尼 $d$，让阻尼比 $\zeta$ 落在 0.9 到 1.1 之间，然后"敲一下"或者拖开方块再松手：它回来时不再振荡。对默认的 $m_d=2$ kg、$k=250$ N/m，需要多大的 $d$？
打开"持续推 20 N"，调节刚度，让方块静止时的变形正好是 5 cm（误差 ±5 mm，等它停稳）。你选的 $k$ 是多少？$m_d$ 和 $d$ 对这个变形有影响吗？

核心洞见

阻抗控制器既不固定 $x$，也不固定 $f$，而是固定它们之间的一条关系。机器人最终停在哪、用多大的力推，由环境决定：在空中 $f_{\mathrm{ext}}=0$，于是 $x=x_0$；顶在墙上，$x$ 被墙挡住，于是 $f=k(x_0-x)$。设计者通过 $x_0$ 和 $k$ 同时表达了"大致想去哪"和"愿意用多大的力去争取"。

3动手玩：同一个目标，两种实现

FIG 1 里的方块是理想的。真实的手爪背后是一台机器人，控制器只能通过电机让它产生这个行为。根据"测什么、发什么指令"，有两条路：

阻抗控制（测运动，出力）。每个控制周期读出位置和速度，按目标方程算出该出的力 $u=k(x_0-x)-d\,\dot x$，直接发给力矩控制的电机。机器人的物理质量就是目标质量（不另做"惯量整形"）。前提是电机力矩能如实到达手爪：低减速比、低摩擦、可反向驱动（9.4 节），否则摩擦会吃掉一部分力。
导纳控制（测力，出运动）。腕部力/力矩传感器测出外力 $f$，把它输入一个"虚拟的"质量–弹簧–阻尼 $m_a\ddot x_c+d_a\dot x_c+k(x_c-x_0)=f$，积分出参考位置 $x_c$，再交给机器人原有的高增益位置伺服去跟踪。减速比大、摩擦大的工业机器人也能用：伺服本身就能压住摩擦，虚拟质量 $m_a$ 也可以随意选。

下图是一维的版本：手爪沿导轨运动，右边 $x_w=30$ cm 处有一面墙，琥珀色手柄是设定点 $x_0$。把 $x_0$ 拖进墙里，手爪就会顶着墙出力。阻抗模式下的机器人是 3 kg 的可反向驱动手爪；导纳模式下是一台大减速比的工业机器人，反射到手爪的质量为 40 kg（9.4 节的 $N^2J_m$），位置伺服带宽 15 Hz。两种模式都以 1 kHz 运行控制器、带 1 ms 计算延迟，都用同一个刚度 $k$ 和阻尼比 0.7。

FIG 2阻抗 vs 导纳：顶着墙会发生什么

拖动琥珀色手柄 x₀

上：灰色方块是手爪，带斜线的区域是墙（悬停公式里的 $k_e$ 会高亮它），蓝色箭头是墙对手爪的接触力，紫色空心框是导纳模式下的参考位置 $x_c$。下：过去 3 秒的位置 $x$（琥珀色，cm，虚线是墙面）和接触力（蓝色，N，纵轴自动缩放）。四种表面的接触刚度分别是 $2\times10^3$、$2\times10^4$、$2\times10^5$、$2\times10^6$ N/m，带少量阻尼；接触是单向的（只能推不能拉）。阻抗模式电机力上限 150 N，导纳模式 2000 N；关节摩擦是库仑摩擦（带静摩擦）。右侧的 $\rho$ 是把接触当作线性弹簧、去掉摩擦后，闭环每 1 ms 的谱半径：$\rho<1$ 稳定，$\rho>1$ 发散。

试一试

阻抗模式，表面选"钢"，把 $x_0$ 拖进墙里至少 3 cm：接触力平稳下来（最近 0.5 s 的峰峰值小于 1 N），并且等于 $k(x_0-x_w)$，误差不超过摩擦力 $f_c$ 加 1 N。墙比控制器硬一千倍，为什么没有问题？
切换到导纳模式，保持钢墙（或木头），让手爪顶在墙上：它开始剧烈"打颤"（最近 0.5 s 接触力峰峰值超过 100 N）。再换成泡沫试试。
把摩擦 $f_c$ 调到 15 N 以上、刚度 $k\le600$ N/m，在空中（不碰墙）把 $x_0$ 拖动几厘米以上，等手爪停稳，分别在两种模式下看位置误差 $|x-x_0|$：阻抗模式超过 1 cm，导纳模式小于 1 mm。

核心洞见

两种实现是对偶的，各有一个软肋。阻抗控制在硬接触里很稳（墙越硬，它越像一个顶在硬物上的弹簧），但在空中的精度取决于硬件：摩擦 $f_c$ 会留下最大 $f_c/k$ 的位置误差（15 N、500 N/m 时实测约 2–3 cm，取决于 $x_0$ 移动了多远）。导纳控制靠高增益伺服压住摩擦，空中精度很高（同样条件下约 0.04 mm），但它把位置伺服和环境串进了同一个回路：环境越硬、虚拟质量越轻，这个回路的增益越高，最终失稳。选哪一种，首先看你手里的是力矩控制的机器人还是位置控制的机器人。

4第二、第三视角：接触稳定性与能量

稳定性地图：谁在什么环境里会失稳

FIG 2 的打颤不是偶然。把接触当作线性弹簧 $k_e$、去掉摩擦，整个系统（机器人 + 控制器 + 1 ms 延迟 + 墙）就是一个线性离散系统 $\mathbf z_{k+1}=A\,\mathbf z_k$。13.2 节说过，它稳定当且仅当 $A$ 的所有特征值都在单位圆内，也就是谱半径 $\hl{rho}{\rho(A)}<1$。下图对每一组参数算出 $\rho$，画成地图：横轴是环境刚度 $k_e$（对数），纵轴是导纳控制的虚拟质量 $m_a$，或者阻抗控制要渲染的刚度 $k$。青色越深，扰动衰减得越快；红色越深，发散得越快；实线是 $\rho=1$ 的稳定边界。

拖动琥珀色标记，右侧是该点的非线性仿真：手爪从刚好接触墙面开始，设定点在墙内 4 cm，画出 1.5 秒的接触力。

FIG 3接触稳定性地图

接触力 (N)，1.5 s

机器人和控制器与 FIG 2 相同：导纳地图用 40 kg、15 Hz 伺服的工业机器人（$k=500$ N/m），阻抗地图用 3 kg 的手爪；阻尼比都是 0.7。竖直虚线是 FIG 2 的四种表面。"延迟"是控制器从测量到输出的额外延迟（1–5 个周期）。每个格子的 $\rho$ 由线性化系统矩阵 $A$ 反复平方求得（$\rho=\lim\|A^n\|^{1/n}$，$n=2^{16}$）。

试一试

导纳地图：把标记放到钢附近（$k_e\ge10^6$ N/m），找出能让它稳定的最小虚拟质量（标记必须在稳定区，且 $m_a\le60$ kg）。这么重的虚拟质量，在空中被人推的时候会是什么感觉？
阻抗地图：把延迟调到 3 ms 或更多，在软环境（$k_e\le10^4$ N/m）里找一个不稳定的点，要求渲染刚度 $k\le3\times10^5$ N/m。阻抗控制的稳定边界主要取决于哪个轴？

两张地图的形状完全不同。导纳控制的不稳定区在右边：环境越硬越危险，提高虚拟质量才能把边界往右推。经验法则是：导纳回路的穿越频率约为 $\omega_c\approx\sqrt{k_{\mathrm{eff}}/m_a}$，其中 $k_{\mathrm{eff}}=k_ek_s/(k_e+k_s)$ 是环境和伺服刚度 $k_s=m\omega_s^2\approx3.6\times10^5$ N/m 串联后的刚度；它必须低于伺服带宽 $\omega_s=94$ rad/s。在这个实验里，延迟 1 ms 时，从 $k_e=10^4$ 到 $2\times10^6$ N/m，稳定边界上的 $\omega_c/\omega_s$ 在 0.53 到 0.95 之间。钢上需要约 38 kg 的虚拟质量，木头约 36 kg，而泡沫在图中最轻的 0.3 kg 时仍然稳定。阻抗控制的不稳定区在上边：主要由要渲染的刚度和延迟决定，与环境关系不大。软环境里，延迟 1 ms 时上限约 $7.3\times10^5$ N/m，3 ms 时降到约 $1.3\times10^5$ N/m，5 ms 时约 $5.4\times10^4$ N/m，量级是 $m/T_d^2$（$T_d$ 为总延迟）；只有在最硬的表面附近，接触共振才会把上限再压低一些（1 ms 延迟、钢上约 $3.4\times10^5$ N/m）。

能量视角：无源性，以及为什么"变刚度"会出事

为什么阻抗控制几乎不怕硬墙？用能量看最清楚。一个弹簧–阻尼–质量在外力作用下，储存的能量 $H=\tfrac12m\dot x^2+\tfrac12k(x-x_0)^2$ 满足 $\dot H=-d\,\dot x^2+f_{\mathrm{ext}}\dot x$：它只会耗散能量，或者把外界给它的能量存起来再还回去，自己不产生能量。这种系统叫无源的。墙（弹簧加阻尼）也是无源的。两个无源系统连在一起，总能量只减不增，所以不会发散，无论墙有多硬。这就是 Colgate 与 Hogan（1988）的耦合稳定性结论：只要机器人在接触点表现为无源，它和任何无源环境接触都是稳定的。FIG 3 里的不稳定，全部来自让控制器"不无源"的因素：延迟、采样、导纳回路里伺服的相位滞后。

无源性还揭示了一个不那么显然的陷阱：在线改变刚度。变阻抗控制很有用（插孔时先软后硬、人走近时变软、学习出来的策略每一步输出刚度），但 $H$ 的变化里多了一项：

$$ \dot H \;=\; -\,d\,\dot x^2 \;+\; f_{\mathrm{ext}}\,\dot x \;+\; \hl{Kdot}{\tfrac12\,\dot k\,(x-x_0)^2} . $$

弹簧被拉长时把它变硬，等于凭空往系统里注入能量。如果刚度按 $k(t)=\bar k\,(1+a\sin\Omega t)$ 周期变化，而 $\Omega\approx2\omega_n$，每个周期都在"弹簧最长时变硬、最短时变软"，就像荡秋千时在最低点站起来：这是参数共振（Mathieu 方程）。线性分析给出近似阈值 $a>4\zeta$：调制深度超过阻尼比的四倍，振幅就指数增长。

补救的办法之一是能量罐（Ferraguti 等，2013）：给控制器配一个虚拟的"能量账户" $T$。阻尼耗散掉的能量存进罐子；刚度变化要注入能量 $\tfrac12\dot k(x-x_0)^2>0$ 时，从罐子里扣；罐子快空时就暂停刚度变化。这样 $H+T$ 永远不增加，系统保持无源。下图的质量 1 kg、平均刚度 100 N/m（$\omega_n=10$ rad/s），从 $x=10$ cm 静止释放。

FIG 4变刚度、参数共振与能量罐

弹簧粗细 ∝ 当前刚度 k(t)

左：方块在弹簧上振动，右侧竖条是能量罐 $T$（上限 1 J，初值 0.5 J）。右上：过去 10 秒的系统能量 $H$（琥珀色）和罐中能量 $T$（青色），纵轴是对数刻度，$10^{-3}$ 到 $10^{3}$ J。右下：实际刚度 $k/\bar k$（绿色）与刚度变化注入的功率 $\tfrac12\dot k(x-x_0)^2$（紫色，正值 = 注入）。能量超过 $10^3$ J 时仿真停止并标为"发散"。步长 1 ms。

试一试

关掉能量罐，调节调制频率 $\Omega/\omega_n$（保持 $a=0.5$、$\zeta=0.05$），让系统能量增长到初始值 0.5 J 的 10 倍以上。哪个频率比最危险？$\Omega=\omega_n$ 时会怎样？
保持危险的调制（$a\ge0.4$，$\Omega/\omega_n$ 在 1.8 到 2.2 之间），打开能量罐并按"复位"，让它运行 10 秒以上：系统能量始终不超过 1.05 J。刚度曲线发生了什么变化？

一个概念，三个视角

力学视角：阻抗控制器是一个看不见的弹簧–阻尼–质量，挂在 $\mathbf x_0$ 和手爪之间。频域视角：机械阻抗 $Z(s)=F(s)/V(s)=m_ds+d+k/s$（力比速度），低频时由 $k/s$ 主导（像弹簧），中频由 $d$ 主导（像阻尼器），高频由 $m_ds$ 主导（像质量）；导纳 $Y=1/Z$ 则是"力进、速度出"。能量视角：阻抗是一个"能量端口"，功率 $f_{\mathrm{ext}}\dot x$ 流进流出；只要控制器不凭空造能量（无源），和任何无源环境接触都稳定，FIG 3 和 FIG 4 里的每一次发散都是某种"造能量"的机制。

5再看数学

提示：把鼠标悬停在公式中带底色的符号上，对应的图元素会被高亮：$m_d,d,k,f_{\mathrm{ext}}$ 对应 FIG 1 的方块、阻尼器、弹簧和手的力箭头；$k_e$ 对应 FIG 2 的墙，$x_c$ 对应 FIG 2 的参考位置空心框；$\rho$ 对应 FIG 3 的稳定边界；$\dot k$ 项对应 FIG 4 的紫色功率曲线，$T$ 对应能量罐；$K$ 对应 FIG 5 的变形椭圆，$J^\top$ 对应 FIG 5 关节处的力矩弧；$S$ 对应 FIG 6 的选择坐标轴。

目标阻抗与因果关系

在 $n$ 维任务空间里（平面位置 $n=2$，空间位姿 $n=6$），目标行为写成

$$ M_d\,\ddot{\tilde{\mathbf x}}+D\,\dot{\tilde{\mathbf x}}+\hl{K}{K}\,\tilde{\mathbf x}=\mathbf F_{\mathrm{ext}},\qquad \tilde{\mathbf x}=\mathbf x-\mathbf x_0,\qquad Z(s)=M_ds+D+\frac{K}{s},\qquad Y(s)=Z(s)^{-1}, $$

其中 $M_d,D,K$ 是对称正定矩阵，$\mathbf F_{\mathrm{ext}}$ 是外界作用在手爪上的力（7.6 节的力旋量去掉力矩部分）。$Z(s)$ 是从速度到力的传递函数（$\mathbf F=Z\mathbf V$，$\mathbf V=s\tilde{\mathbf X}$）。Hogan 的论点是关于因果的：环境（比如一面墙）本身往往是一个导纳（给它力，它决定位置变化很小），两个"导纳"不能串在一起，所以机器人应该表现为阻抗，"你动我，我给力"。阻抗控制和导纳控制的区别不在目标，而在实现的因果方向：

	阻抗控制	导纳控制
测量	位置、速度（编码器）	力（力/力矩传感器）
输出	力 / 关节力矩	参考位置 $\mathbf x_c$
硬件	力矩控制、可反向驱动	高刚度位置伺服
擅长	低刚度、硬接触	高刚度、空中精度、任意虚拟质量
软肋	摩擦、未建模动力学、渲染高刚度	硬接触、轻虚拟质量

机械臂上的阻抗控制

对力矩控制的机械臂 $M(\mathbf q)\ddot{\mathbf q}+C(\mathbf q,\dot{\mathbf q})\dot{\mathbf q}+\mathbf g(\mathbf q)=\boldsymbol\tau+J^\top\mathbf F_{\mathrm{ext}}$（8.3 节；外力经 7.6 节的 $J^\top$ 变成关节力矩），最常用的笛卡尔阻抗控制律是

$$ \boldsymbol\tau=\mathbf g(\mathbf q)+\hl{JT}{J(\mathbf q)^{\top}}\Big[\hl{K}{K}\,(\mathbf x_0-\mathbf x)-D\,\dot{\mathbf x}\Big] . $$

它只用到正运动学、雅可比和重力模型，不需要力传感器。代入动力学并利用 8.3 节的操作空间形式（$J$ 可逆时），闭环是

$$ \Lambda(\mathbf q)\,\ddot{\mathbf x}+\boldsymbol\mu(\mathbf q,\dot{\mathbf q})+D\,\dot{\mathbf x}+K\,(\mathbf x-\mathbf x_0)=\mathbf F_{\mathrm{ext}},\qquad \Lambda=(JM^{-1}J^{\top})^{-1} . $$

刚度和阻尼正是我们想要的，但质量是手臂自己的等效质量 $\Lambda(\mathbf q)$（8.3 节 FIG 3 的椭圆），随姿态变化，还多了速度项 $\boldsymbol\mu$。要把质量也改成任意的 $M_d$（"惯量整形"），控制律里必须出现 $\Lambda M_d^{-1}\mathbf F_{\mathrm{ext}}$，也就是必须测量外力，并用 $\Lambda$ 和 $\boldsymbol\mu$ 做补偿：这正是 13.6 节操作空间控制的内容。实践中大多数力矩控制臂选择保留 $\Lambda$：不用力传感器，鲁棒，而且下面的能量论证完全成立。

关节空间版本。8.3 节的"PD + 重力补偿" $\boldsymbol\tau=\mathbf g+K_q(\mathbf q_0-\mathbf q)-D_q\dot{\mathbf q}$ 就是一个关节阻抗控制器。对小位移 $\delta\mathbf x=J\delta\mathbf q$，笛卡尔刚度 $K$ 对应的关节刚度是 $K_q=J^\top KJ$（外力不为零时还要加上 $\partial J^\top/\partial\mathbf q$ 与力的乘积项）。反过来，同样的关节刚度在不同姿态下对应不同的笛卡尔刚度，这就是为什么要在任务空间里规定 $K$。

能量函数与无源性

取 $W=\tfrac12\dot{\mathbf q}^\top M\dot{\mathbf q}+\tfrac12\tilde{\mathbf x}^\top K\tilde{\mathbf x}$（动能加虚拟弹簧的势能）。8.3 节的功率平衡（$\dot M-2C$ 斜对称）给出 $\tfrac{d}{dt}\tfrac12\dot{\mathbf q}^\top M\dot{\mathbf q}=\dot{\mathbf q}^\top(\boldsymbol\tau+J^\top\mathbf F_{\mathrm{ext}}-\mathbf g)$。代入控制律，用 $\dot{\mathbf x}=J\dot{\mathbf q}$：

$$ \dot W=\dot{\mathbf x}^{\top}\big(-K\tilde{\mathbf x}-D\dot{\mathbf x}+\mathbf F_{\mathrm{ext}}\big)+\tilde{\mathbf x}^{\top}K\dot{\mathbf x}=-\,\dot{\mathbf x}^{\top}D\,\dot{\mathbf x}+\dot{\mathbf x}^{\top}\mathbf F_{\mathrm{ext}} . $$

两个结论。(1) 空中（$\mathbf F_{\mathrm{ext}}=0$）：$\dot W=-\dot{\mathbf x}^\top D\dot{\mathbf x}\le0$，$W$ 是 13.2 节意义下的 Lyapunov 函数；$\dot W=0$ 要求 $\dot{\mathbf x}=0$，再由 LaSalle 原理得 $\mathbf x\to\mathbf x_0$（$J$ 非奇异时）。(2) 对任意外力，积分得 $\int_0^t\dot{\mathbf x}^\top\mathbf F_{\mathrm{ext}}\,dt\ge W(t)-W(0)\ge-W(0)$：外界从机器人那里最多能取走它初始储存的能量，这就是无源性的定义。墙、弹簧、阻尼器、人手的被动部分都是无源的；两个无源系统的反馈连接仍然无源，总能量有界，所以接触稳定（Colgate 与 Hogan 1988 的耦合稳定性）。

这个证明隐含了两个理想化：控制律是连续时间的，电机力矩如实到达关节。采样和延迟会让虚拟弹簧"晚一步"出力，相当于一个负阻尼。对触觉设备，Colgate 与 Schenkel（1997）给出了采样渲染的无源性条件 $b>\tfrac{KT}{2}+|B|$：要以采样周期 $T$ 渲染刚度 $K$ 和虚拟阻尼 $B$，设备本身必须有足够的物理阻尼 $b$。这就是 FIG 3 阻抗地图上方的不稳定区。

导纳控制与它的环路增益

导纳控制器在每个周期 $T$（1 ms）里用测得的力 $\mathbf f$ 积分一次虚拟动力学（半隐式欧拉，2.5 节），把结果交给位置伺服：

$$ \dot{\mathbf x}_c\leftarrow\dot{\mathbf x}_c+T\,M_a^{-1}\big(\mathbf f-D_a\dot{\mathbf x}_c-K(\hl{xc}{\mathbf x_c}-\mathbf x_0)\big),\qquad \hl{xc}{\mathbf x_c}\leftarrow\mathbf x_c+T\,\dot{\mathbf x}_c, $$ $$ \mathbf u=K_s(\mathbf x_c-\mathbf x)+D_s(\dot{\mathbf x}_c-\dot{\mathbf x}) . $$

在一维里，环境是刚度 $\hl{ke}{k_e}$ 的弹簧，伺服把参考 $x_c$ 变成实际位置 $x$ 的传递函数记为 $G_s(s)$（带宽 $\omega_s$）。力 $f=-k_e(x-x_w)$ 又回到导纳模型，形成一个闭环，其环路增益为

$$ L(s)=\frac{\hl{ke}{k_e}\,G_s(s)}{m_as^2+d_as+k},\qquad \big|L(j\omega)\big|\approx\frac{k_{\mathrm{eff}}}{m_a\,\omega^2}\quad\big(\omega\gg\sqrt{k/m_a}\big),\qquad k_{\mathrm{eff}}=\frac{k_e\,k_s}{k_e+k_s} . $$

（$k_e$ 远大于伺服刚度 $k_s$ 时，墙把机器人挡住，$x$ 几乎不随 $x_c$ 动，于是有效增益饱和为 $k_s$，即串联刚度 $k_{\mathrm{eff}}$。）（近似式里忽略了伺服 $G_s$ 的相位。）增益在 $\omega_c\approx\sqrt{k_{\mathrm{eff}}/m_a}$ 处降到 1。虚拟质量–弹簧本身已经贡献了接近 $-180^\circ$ 的相位，只要伺服和延迟在 $\omega_c$ 处再滞后一点，相位裕度就没了：所以 $\omega_c$ 必须明显低于 $\omega_s$。这给出三条补救：加大 $m_a$（代价是空中推起来很沉），加大 $d_a$（代价是很黏），或者降低伺服刚度（代价是空中精度）。没有免费的午餐：导纳控制在硬接触里稳定，本质上就是让机器人在那里变得又重又慢。

阻抗与导纳的对偶可以说得更精确：阻抗控制在渲染低刚度、接触硬环境时好；导纳控制在渲染高刚度、接触软环境（或在空中）时好。Ott、Mukherjee 与 Nakamura（2010）提出把两者按比例混合，在两种情形之间切换或插值。

怎样选 $K$ 和 $D$

刚度按任务和不确定性选。在需要精度的方向上硬，在位置不确定、需要接触的方向上软。外力 $\mathbf F$ 下的静态变形是 $\Delta\mathbf x=K^{-1}\mathbf F$：如果表面高度的不确定性是 $\pm\delta$，想把接触力的波动压在 $\pm\Delta f$ 以内，法向刚度就要 $k_n\lesssim\Delta f/\delta$。刚度矩阵不必是对角的：$K=R\,\mathrm{diag}(k_1,k_2)R^\top$，主轴可以对准表面法向。注意：除非力恰好沿着 $K$ 的主轴，变形方向和力的方向不一致（FIG 5）。

阻尼按质量选。一维时 $d=2\zeta\sqrt{k\,m}$，$m$ 是实际的质量（阻抗控制里是 $\Lambda$）。如果固定 $d$ 而改变 $k$ 或姿态，阻尼比就会跟着漂。多维时一个常用的做法是"双对角化"（Albu-Schäffer 等，2003）：

$$ D=\Lambda^{1/2}\,\Big(2\zeta\,\big(\Lambda^{-1/2}K\Lambda^{-1/2}\big)^{1/2}\Big)\,\Lambda^{1/2} , $$

它让 $\Lambda\ddot{\mathbf x}+D\dot{\mathbf x}+K\mathbf x=0$ 的每一个模态都有阻尼比 $\zeta$（把 $\mathbf y=\Lambda^{1/2}\mathbf x$ 代入即可验证）。FIG 5 就用这个公式，每 1 ms 按当前姿态重算一次。转动部分的刚度单位是 N·m/rad，作用在姿态误差 $\Log(R_0^\top R)$（5.6 节）上；平移和转动的刚度不能直接比较，6 维 $K$ 通常写成分块对角。

变阻抗与能量罐

让 $K$ 随时间变，重复上面的推导，$\tfrac{d}{dt}\tfrac12\tilde{\mathbf x}^\top K\tilde{\mathbf x}$ 多出 $\tfrac12\tilde{\mathbf x}^\top\dot K\tilde{\mathbf x}$：

$$ \dot W=-\,\dot{\mathbf x}^{\top}D\dot{\mathbf x}+\dot{\mathbf x}^{\top}\mathbf F_{\mathrm{ext}}+\hl{Kdot}{\tfrac12\,\tilde{\mathbf x}^{\top}\dot K\,\tilde{\mathbf x}},\qquad \dot{\hl{tank}{T}}=\dot{\mathbf x}^{\top}D\dot{\mathbf x}-\hl{Kdot}{\tfrac12\,\tilde{\mathbf x}^{\top}\dot K\,\tilde{\mathbf x}} . $$

罐子里的能量 $T$ 低于下限 $T_{\min}$ 时，会注入能量的刚度变化被暂停（$\dot K$ 置零）。没有罐子时，$\dot K$ 项可以是正的，无源性就丢了；FIG 4 里 $a=0.5$、$\Omega=2\omega_n$ 时，能量在 10 秒内从 0.5 J 涨到约 $10^6$ J。有罐子时 $\tfrac{d}{dt}(W+T)=\dot{\mathbf x}^\top\mathbf F_{\mathrm{ext}}$，与固定刚度时一样无源：罐子只允许把以前耗散掉的能量"借回来"改变刚度。（FIG 4 还给罐子设了 1 J 的上限，防止长期积攒的能量一次性释放。）

力/位混合控制（简述）

另一条思路来自 Mason（1981）：接触几何把任务空间分成两组方向。沿表面法向，环境决定了位置（自然约束：不能穿过去），我们只能规定力；沿表面切向，环境决定了力（无摩擦时为零），我们只能规定位置。Raibert 与 Craig（1981）据此用一个对角的选择矩阵 $S$（1 = 位置控制，0 = 力控制）在任务坐标系里把两个控制器拼起来：

$$ \mathbf F_{\mathrm{cmd}}=\hl{S}{S}\,\big[K_p(\mathbf x_d-\mathbf x)+K_v(\dot{\mathbf x}_d-\dot{\mathbf x})\big]+(I-\hl{S}{S})\Big[\mathbf f_d+K_I\!\int(\mathbf f_d-\mathbf f)\,dt-D_f\dot{\mathbf x}\Big], $$ $$ \boldsymbol\tau=\mathbf g+J^{\top}\mathbf F_{\mathrm{cmd}} . $$

它能把力精确调到 $\mathbf f_d$，与表面在哪无关；阻抗控制只能间接地通过 $K(\mathbf x_0-\mathbf x)$ 得到力，表面高度差 $\delta$ 就带来 $k_n\delta$ 的力误差（FIG 6）。代价是：$S$ 要求事先知道约束方向；力控制方向上没有位置参考，一旦失去接触就会加速；在接触刚度很高时，力回路的增益必须很小才能稳定（又是 FIG 3 的环路增益问题）。所以在工业里常见的是两者结合：用阻抗控制兜底的稳定性，在法向加一个慢的力积分环。

6机器人中的它：笛卡尔阻抗与擦桌子

回到 8.3 节的两连杆臂（$l_1=1$ m，$l_2=0.8$ m，$m_1=2$ kg，$m_2=1.5$ kg，竖直平面，重力沿 $-y$），用第 5 节的控制律 $\boldsymbol\tau=\mathbf g+J^\top[K(\mathbf x_0-\mathbf x)-D\dot{\mathbf x}]$ 让手爪表现为一个二维弹簧。刚度矩阵 $K=R(\varphi)\,\mathrm{diag}(k_1,k_2)\,R(\varphi)^\top$ 由两个主刚度和主轴角 $\varphi$ 决定，阻尼用双对角化公式按当前的 $\Lambda(\mathbf q)$ 算出。

拖动琥珀色手柄移动设定点 $\mathbf x_0$；左上角的"力摇杆"给手爪施加一个外力 $\mathbf F$（紫色箭头）。手爪停下时偏离 $\mathbf x_0$ 的量就是 $K^{-1}\mathbf F$；琥珀色椭圆画出所有方向上 20 N 推力造成的变形（放大 5 倍画出），长轴就是"软"的方向。打开"波浪桌面"（高度起伏 ±0.6 cm，控制器不知道），把 $\mathbf x_0$ 放到桌面以下，再按"擦拭"让设定点左右往返（±25 cm，周期 6 s）。

FIG 5两连杆臂上的笛卡尔阻抗

琥珀色手柄 = 设定点 $\mathbf x_0$，琥珀色椭圆 = 20 N 推力下的变形集合 $\{K^{-1}\mathbf F:\|\mathbf F\|=20\}$（$\mathbf F$ 以 N 计，放大 5 倍画出；悬停 $K$ 高亮）。紫色箭头 = 外力 $\mathbf F$（1 N ↔ 1 cm），蓝色箭头 = 桌面的接触力。从 $\mathbf x_0$ 出发的两条射线只表示方向：紫色是力的方向，绿色是实际变形 $\mathbf x-\mathbf x_0$ 的方向。关节处的红、绿圆弧是阻抗项产生的关节力矩 $J^\top[\cdots]$（悬停 $J^\top$ 高亮），重力补偿 $\mathbf g(\mathbf q)$ 不画。控制器 1 kHz，动力学子步长 0.125 ms。桌面接触刚度 $2\times10^4$ N/m，无摩擦。

试一试

把刚度调成各向异性（$k_1/k_2\ge4$ 或 $k_2/k_1\ge4$），用摇杆施加至少 10 N 的力，让手爪停稳后，变形方向与力的方向相差超过 25°。什么方向的力不会产生这种偏差？
打开波浪桌面和"擦拭"，调节竖直方向的刚度和 $\mathbf x_0$ 的高度，让一个完整的往返（6 s）里接触力始终在 4 N 到 16 N 之间。为什么法向刚度要低？试试把它调到 1000 N/m 以上。

擦的时候你会发现，即使桌面是平的，接触力也会随擦拭方向上下摆几牛，比桌面起伏所能解释的（$K_{yy}\times0.6$ cm）大。原因在阻尼：$\Lambda(\mathbf q)$ 在 $x$–$y$ 坐标里不是对角的，双对角化得到的 $D$ 也就有非对角元（在这片工作区里 $D_{yx}\approx-12$ N·s/m），切向速度（最高约 0.26 m/s）经 $D_{yx}\dot x$ 变成约 ±3 N 的法向力：往一个方向擦时压得轻，往回擦时压得重。例如 $k_2=300$ N/m、设定点在桌面下 3.3 cm 时，平桌面上的接触力在 6.6–13.0 N 之间；如果只保留 $D$ 的对角元，就只在 9.6–10.1 N 之间。所以接触任务常把阻尼直接在任务坐标系（表面法向和切向）里设成对角的，例如 franka_ros 的示例取 $D=2\sqrt K$，代价是各模态的阻尼比不再都等于 $\zeta$。

擦桌子时我们用"法向软弹簧"间接地得到压力。如果更在意压力本身，就用第 5 节的力/位混合控制：切向位置控制，法向直接把力调到 10 N。下图在同一段 ±30 cm、周期 4 s 的往返上并排跑两个控制器：混合控制（紫色，切向 PD 位置控制，法向力前馈 + 积分 + 阻尼）和阻抗控制（琥珀色，切向刚度 3000 N/m，法向刚度 300 N/m，设定点在"以为的"表面下方 $10/300$ m）。控制器都以为表面是 $y=0$ 的水平面；你可以让真实表面高出 $\Delta h$、倾斜 $\delta$。两者都由 3 kg 的点质量手爪实现，接触刚度 $5\times10^4$ N/m。

FIG 6力/位混合控制 vs 阻抗控制

竖直方向放大

法向接触力 (N) vs 时间 (s)

左：实线是真实表面，虚线是控制器以为的表面 $y=0$；实心紫点是混合控制的手爪，空心琥珀圈是阻抗控制的手爪。混合控制手爪上的两根短轴是选择矩阵 $S$ 的坐标系（悬停 $S$ 高亮）：沿切向的是位置控制轴，沿法向的是力控制轴。右：过去 8 秒的法向接触力，虚线是目标 10 N。读数里的最小、最大、平均值统计的是最近一个完整往返（4 s）。

试一试

保持倾斜 $|\delta|\le1^\circ$，把表面抬高 $\Delta h\ge1.5$ cm，等一个完整往返：混合控制的力始终在 $10\pm0.5$ N 以内，而阻抗控制的平均力偏离 10 N 超过 4 N。再把倾斜调到 10°，两者各自怎样？

表面抬高 2 cm 时，阻抗控制的力变成 $10+300\times0.02\approx16$ N（实测 15.9 N），混合控制仍是 10.0 N。倾斜 10° 时，混合控制的力在约 9.2–11.2 N 之间（力回路要一边跟上倾斜的表面一边调力），阻抗控制则在 0（短暂离开表面）到约 26 N 之间。这正是混合控制的长处。但请记住它的前提：选择矩阵假设我们知道哪个方向受约束；如果表面突然消失，力控制轴会把手爪一直往下推。阻抗控制的力不准，但在任何情况下都只是一根弹簧。

真实系统里

力矩控制的协作臂：DLR 轻型臂（LWR III）上的笛卡尔阻抗控制（Albu-Schäffer 等，2003）后来进入了 KUKA LBR iiwa，其 Sunrise 软件提供 CartesianImpedanceControlMode，平移刚度上限 5000 N/m、转动刚度上限 300 N·m/rad。Franka Emika Panda 的 libfranka 自带 cartesian_impedance_control 示例，franka_ros 里有 cartesian_impedance_example_controller，都以 1 kHz 发送 $\boldsymbol\tau=J^\top[K(\mathbf x_0-\mathbf x)-D\dot{\mathbf x}]+\dots$（重力由机器人自己补偿）。位置控制的工业臂：ABB、FANUC、KUKA KR 系列在腕部装 ATI 等六维力传感器，做打磨、去毛刺、装配和手拖示教时用的就是导纳控制；ROS 2 的 ros2_controllers 里有现成的 admittance_controller。Universal Robots 的 force_mode 用一个"选择向量"指定哪些轴做力控制，是力/位混合思想的工业实现。腿式机器人：MIT Cheetah 用本体感觉的阻抗控制让腿像弹簧一样着地（Hyun 等，2014），Mini Cheetah 的腿控制器同时接收前馈力矩与关节、笛卡尔 PD 增益。触觉与康复：触觉设备能稳定渲染的阻抗范围叫"Z-width"（Colgate 与 Brown，1994）；MIT-MANUS 等上肢康复机器人用阻抗控制和病人安全地交互。学习：把末端阻抗控制器的设定点和刚度作为强化学习的动作空间，在接触任务上比直接输出关节力矩更好学（Martín-Martín 等，2019）；也有直接学习变刚度策略的工作（Buchli 等，2011）。

7常见误区

误区 1："刚度越高越好"

高刚度让空中定位更准，但会把每一点位置误差放大成接触力：法向刚度 3000 N/m 时，1 cm 的表面高度误差就是 30 N。它还会碰上采样和延迟的上限：FIG 3 里 3 ms 延迟时，3 kg 的手爪只能稳定渲染约 $1.3\times10^5$ N/m。按 $k_n\lesssim\Delta f/\delta$（允许的力波动除以位置不确定度）来选法向刚度，只在需要精度的方向上硬。

误区 2：导纳控制里把虚拟质量设得很轻

"虚拟质量越轻，推起来越跟手"在空中是对的，但碰到硬物时导纳回路的穿越频率 $\sqrt{k_{\mathrm{eff}}/m_a}$ 会超过伺服带宽，手爪开始打颤（FIG 2）。在 FIG 3 的设定里，钢上需要约 38 kg。常见做法是：接触时自动加大 $m_a$ 和 $d_a$，或者在检测到接触后切换到更保守的参数；给力传感器加更重的低通滤波只会增加相位滞后，往往适得其反。

误区 3：阻尼与刚度、质量脱钩

阻尼比是 $\zeta=d/(2\sqrt{k\,m})$。固定 $d$ 而调大 $k$，或者手臂换了个姿态使 $\Lambda$ 变了，$\zeta$ 就会漂走：同一组参数在一个姿态下临界阻尼，在另一个姿态下振荡。多维时应按 $\Lambda$ 设计 $D$（双对角化）。另外，平移刚度（N/m）和转动刚度（N·m/rad）单位不同，不能用同一个数字，也不能把 6 维 $K$ 的特征值直接比较。

误区 4：随手改变刚度和设定点

每个瞬间的参数都稳定，不代表随时间变化的参数也稳定：弹簧被拉长时变硬会注入能量 $\tfrac12\Delta k\,(x-x_0)^2$，按 $2\omega_n$ 周期变化能引发参数共振（FIG 4）。学习出的策略每一步输出刚度时尤其要小心：限制 $\dot K$、用能量罐，或者至少只在弹簧接近松弛时变硬。同理，设定点 $\mathbf x_0$ 一下子跳很远，弹簧力 $K(\mathbf x_0-\mathbf x)$ 也会一下子很大，实际系统通常会对 $\mathbf x_0-\mathbf x$ 或弹簧力做限幅。

误区 5：在不能反向驱动的硬件上做"纯"阻抗控制，或者不校准力传感器

阻抗控制假设发出的力矩如实到达关节。大减速比的关节里，摩擦会留下最大 $f_c/k$ 的位置误差（FIG 2 里 15 N 摩擦、500 N/m 刚度时实测约 2–3 cm），还会让手爪"粘"住。这类机器人要么用关节力矩传感器闭环把摩擦压下去，要么改用导纳控制。反过来，导纳控制完全依赖力传感器的读数：没有去皮、没有补偿工具重力（7.6 节误区 4），或者力旋量没有换到正确的坐标系，机器人就会对着一个不存在的力"顺从"地漂走。

8小练习

1. 阻抗控制器沿 $x$ 方向的刚度是 $k=800$ N/m。人用 20 N 的恒力沿 $x$ 推手爪，手爪停下时偏离设定点多远？

静止时 $\ddot x=\dot x=0$，目标方程只剩 $k\,\Delta x=f$，所以 $\Delta x=20/800=0.025$ m $=2.5$ cm，与 $m_d$ 和 $d$ 无关。40 cm 是把 $k/f$ 当成了变形。

2. 目标质量 $m_d=2$ kg、刚度 $k=800$ N/m。要临界阻尼（$\zeta=1$），阻尼 $d$ 应取多少？

$d=2\zeta\sqrt{k\,m_d}=2\sqrt{800\times2}=2\times40=80$ N·s/m。40 是忘了因子 2，1600 是忘了开方。此时 $\omega_n=\sqrt{800/2}=20$ rad/s，也可以写成 $d=2\zeta m_d\omega_n$。

3. 一台减速比很大、不能反向驱动的工业机器人，腕部装了六维力传感器，要打磨一个钢制工件。最合适的方案是？

位置控制的硬件 + 力传感器正是导纳控制的场景：伺服压住减速器的摩擦。选项 A 的力矩会被摩擦吃掉，位置误差可达 $f_c/k$。选项 B 会把毫米级误差变成上千牛的力。选项 C 在失去接触时没有位置参考。对钢件要注意 FIG 3 的结论：虚拟质量太轻会打颤。

4. 手爪偏离设定点 5 cm、静止不动时，控制器把刚度从 200 N/m 瞬间提高到 400 N/m。系统的能量增加了多少？

弹簧势能 $\tfrac12k\,\Delta x^2$ 从 $\tfrac12\times200\times0.05^2=0.25$ J 变成 $\tfrac12\times400\times0.05^2=0.5$ J，增加 0.25 J，正是 $\tfrac12\Delta k\,\Delta x^2$。这份能量是控制器凭空注入的，不是外界做的功：这就是变刚度破坏无源性的机制。0.5 J 是变刚度后的总势能，不是增量。

5. 在 FIG 2 里，同样的刚度和阻尼比，导纳控制顶着钢墙打颤，阻抗控制却很平稳。根本原因是？

两种模式在 FIG 2 里都以 1 kHz 运行、带同样的 1 ms 延迟，墙也没有切向摩擦。区别在结构：导纳回路的增益约为 $k_{\mathrm{eff}}/(m_a\omega^2)$，硬墙让穿越频率升到伺服带宽附近；阻抗控制的能量函数满足 $\dot W\le\dot{\mathbf x}^\top\mathbf F_{\mathrm{ext}}$，与任何无源环境耦合都稳定（采样和延迟只在渲染刚度很高时才成问题）。

9延伸阅读

N. Hogan, Impedance Control: An Approach to Manipulation, Parts I–III, ASME J. Dynamic Systems, Measurement, and Control 107(1), 1985 — 阻抗控制的奠基论文：因果、能量与操作
M. T. Mason, Compliance and Force Control for Computer Controlled Manipulators, IEEE Trans. Systems, Man, and Cybernetics 11(6), 1981 — 自然约束与人工约束
M. H. Raibert & J. J. Craig, Hybrid Position/Force Control of Manipulators, ASME J. Dynamic Systems, Measurement, and Control 103(2), 1981 — 选择矩阵与力/位混合控制
J. E. Colgate & N. Hogan, Robust Control of Dynamically Interacting Systems, Int. J. Control 48(1), 1988 — 无源性与耦合稳定性
J. E. Colgate & G. G. Schenkel, Passivity of a Class of Sampled-Data Systems: Application to Haptic Interfaces, J. Robotic Systems 14(1), 1997 — 采样渲染的无源性条件 $b>KT/2+|B|$
D. E. Whitney, Historical Perspective and State of the Art in Robot Force Control, Int. J. Robotics Research 6(1), 1987 — 力控制早期方法的综述
A. Albu-Schäffer, C. Ott, U. Frese & G. Hirzinger, Cartesian Impedance Control of Redundant Robots: Recent Results with the DLR-Light-Weight-Arms, ICRA 2003 — 力矩控制臂上的笛卡尔阻抗与双对角化阻尼设计
C. Ott, R. Mukherjee & Y. Nakamura, Unified Impedance and Admittance Control, ICRA 2010 — 阻抗与导纳的对偶及其融合
F. Ferraguti, C. Secchi & C. Fantuzzi, A Tank-Based Approach to Impedance Control with Variable Stiffness, ICRA 2013 — 用能量罐保持变刚度的无源性
B. Siciliano, L. Sciavicco, L. Villani & G. Oriolo, Robotics: Modelling, Planning and Control, Springer, 2009, Ch. 9 — 力控制：阻抗、导纳、力/位混合与并联控制
K. Lynch & F. Park, Modern Robotics, Ch. 11 — 力控制、混合运动–力控制与阻抗控制
R. Martín-Martín, M. A. Lee, R. Gardner, S. Savarese, J. Bohg & A. Garg, Variable Impedance Control in End-Effector Space: An Action Space for Reinforcement Learning in Contact-Rich Tasks, IROS 2019 — 把阻抗控制器当作学习的动作空间